8.4 전통형 금리보증 비용 (TVOG)#

이 챕터에서 배우는 것

  • 전통형 / 금리연동형 상품의 최저보증이율 이 회사에 지우는 비용을, 결정론 intrinsic value 와 변동성이 만드는 시간가치 (TVOG) 로 분해해 측정하는 법 (pricing.interest_tvog, 별칭 gmm.interest_tvog)

  • 이 측정이 앞서 만든 두 조각 — statutory_reserve (통계준비금 V_t) 와 esg.simulate (위험중립 금리시나리오) — 을 엮어서 나온다는 것

  • 시간가치가 곧 금리 변동성의 비용 이라는 점 (rate_vol 을 키우면 intrinsic 은 그대로, 시간가치만 커짐)

  • 왜 고정현금흐름의 확률론 재할인 (gmm.stochastic) 으로는 이 비용이 보이지 않는지 (비대칭이 없으면 TVOG 가 0)

전통형 / 금리연동형 상품은 적립 준비금에 최저보증이율 i_g 를 부리합니다. 회사의 운용 earned rate r 이 i_g 아래로 떨어지면 회사가 그 부족분을 메워야 합니다. max(i_g - r, 0) 은 볼록 (convex) 이라, 중앙(결정론) 시나리오 하나로 보면 intrinsic value (중앙 경로에서의 비용) 만 보이고, 금리가 흔들릴 때 추가로 드는 시간가치 (TVOG = Time Value of Options and Guarantees) 는 여러 시나리오에서만 드러납니다. 둘의 합이 보증의 전체 비용입니다:

전체 비용  =  intrinsic value  +  시간가치 (TVOG)

이것은 5.2 변액보험 최저보증의 시간가치 의 일반계정 판 입니다 — 그쪽은 분리계정 (계좌가치) 의 크레딧 floor, 이쪽은 일반계정 준비금의 이율 보증.

모델링 매핑 — 두 조각을 엮는다#

조각

출처

준비금 궤적 V_t

pricing.statutory_reserve(mp, stat) — i_g 로 부리하는 NLP 통계준비금 (8.3 수익성 분석).

금리시나리오 r_{s,t}

esg.simulate(...).rates — 위험중립 (n_scen, n_time) 연율 (경제적 가정 — 시나리오 생성).

보증율 i_g

statutory_basis.discount_annual (스칼라) 기본값.

중앙 경로

기본 = initial_prices 의 내재 forward 곡선 (무변동성 baseline).

시나리오 s, 월 t 의 비용 = 부족분의 현재가치 cost_s = sum_t D_s(t) * max(i_g_m - r_m[s,t], 0) * V_t 이고, intrinsic / 시간가치로 분해해 TVOGResult 로 돌려줍니다.

최소 작동 예제 — intrinsic 과 시간가치#

2.5% 보증이율의 전통형 양로보험. 곡선이 i_g 아래에서 출발하도록 잡아 보증이 실제로 뭅니다.

import numpy as np
import fastcashflow as fcf
from fastcashflow import pricing

# a traditional endowment with a 2.5% guaranteed crediting rate
endow = fcf.ModelPoints.single(
    issue_age=40, premium=0.0, term_months=120,
    benefits={"DEATH": 100_000_000.0}, maturity_benefit=100_000_000.0,
    calculation_methods={"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH})
stat = fcf.Basis(mortality_annual=0.01, lapse_annual=0.0, discount_annual=0.025,
                 ra_confidence=0.75, mortality_cv=0.0,
                 coverages=(fcf.CoverageRate("DEATH", 0.01),))

# risk-neutral interest scenarios from the ESG; the curve starts below i_g
maturities = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 5.0, 10.0, 20.0, 30.0])
rates      = np.array([0.020, 0.022, 0.024, 0.026, 0.028, 0.030, 0.030])
scen = fcf.esg.simulate(maturities, rates, ufr=0.035, alpha=0.1,
    mean_reversion=0.05, rate_vol=0.015, equity_vol=0.0, correlation=0.0,
    n_scenarios=2000, n_time=120, seed=20240601)

res = pricing.interest_tvog(endow, stat, scen.rates,
                                      initial_prices=scen.initial_prices)
print(f"intrinsic value = {res.intrinsic_value:>13,.0f}")
print(f"time value      = {res.time_value:>13,.0f}")
print(f"total cost      = {res.total_value:>13,.0f}")

출력:

intrinsic value =        28,390
time value      =     3,972,095
total cost      =     4,000,485

intrinsic 은 작습니다 — 중앙(forward) 경로는 i_g 를 살짝만 밑돌기 때문입니다. 비용의 대부분 (3,972,095) 은 시간가치 — 금리가 흔들리며 어떤 경로에서는 보증이 깊이 무는 데서 오는 비용입니다. 결정론 평가 하나로는 이 부분이 통째로 안 보입니다.

시간가치 = 변동성의 비용#

rate_vol 만 바꿔 가며 재면, intrinsic 은 (중앙 경로가 같으니) 그대로 이고 시간가치만 변동성에 따라 커집니다 — 시간가치가 곧 금리 변동성이 매기는 값이라는 뜻입니다.

print(f"{'rate_vol':>9}{'intrinsic':>13}{'time value':>14}")
for vol in (0.005, 0.015, 0.030):
    s = fcf.esg.simulate(maturities, rates, ufr=0.035, alpha=0.1,
        mean_reversion=0.05, rate_vol=vol, equity_vol=0.0, correlation=0.0,
        n_scenarios=2000, n_time=120, seed=20240601)
    r = pricing.interest_tvog(endow, stat, s.rates,
                                        initial_prices=s.initial_prices)
    print(f"{vol:>9.3f}{r.intrinsic_value:>13,.0f}{r.time_value:>14,.0f}")

출력:

 rate_vol    intrinsic    time value
    0.005       28,390       887,925
    0.015       28,390     3,972,095
    0.030       28,390     8,786,206

결과 해석 — 비용의 부호와 netting#

total_value 는 회사가 지는 추가 비용 이라 항상 >= 0 입니다 (max(...) >= 0). 가치에 반영할 때는 BEL 에 더하고 CSM / CSM+RA 에서 뺍니다 — 보증이 깊으면 계약을 onerous 로 밀 수 있습니다. intrinsic_value 는 결정론 중앙이율 평가가 이미 보는 부분, time_value 는 확률론에서만 드러나는 추가분입니다. guarantee_cost 는 (n_scenarios,) 비용 분포라 백분위수 (꼬리 위험) 도 읽을 수 있습니다.

함정 / 검증#

  • gmm.stochastic 로는 안 보임 — measure_stochastic 는 고정현금흐름을 시나리오별 재할인할 뿐이라 비대칭이 없고, 시나리오 평균이 결정론 BEL 과 같아 TVOG 가 0 입니다. 보증의 시간가치는 준비금 부리에 걸리는 floor 에서만 나옵니다 — 이 함수가 그 자리입니다.

  • 중앙 경로는 forward 가 기본 — initial_prices (= scen.initial_prices) 를 주면 곡선의 내재 forward 를 중앙 경로로 씁니다. 위험중립에서 forward 는 같은 P(0,t) 를 재현하는 무변동성 경로라, intrinsic / 시간가치 분해의 baseline 으로 맞습니다. central_rates 로 직접 줄 수도 있고, 둘 다 없으면 명시적 에러 (조용한 평균 fallback 없음).

  • 스칼라 i_g (v1) — 보증율은 스칼라입니다. statutory_basis.discount_annual 이 per-year 곡선이면 guaranteed_rate= 로 스칼라를 명시하세요.

  • horizon 일치 — rate_scenarios 의 열 수는 n_time (계약경계 horizon = statutory_reserve(...)[0].shape[1] - 1) 과 같아야 합니다. ESG 를 같은 n_time 로 생성하세요.

  • 몬테카를로 잡음 — 2,000 경로는 seed / 경로수에 따라 흔들립니다. 보고용 수치는 경로를 늘리고 (antithetic 기본 on), 분포의 백분위수까지 함께 보세요.

인접 레시피#