3.1 보험료 납입면제 (waiver)#

이 챕터에서 배우는 것

  • 보험료 납입면제가 상태 전이 (active → waiver) 로 모델링되는 이유 — cookbook 의 첫 상태(Markov) 챕터

  • state_model 과 waiver_incidence_annual 두 자리의 연결

  • waiver 상태에서 바뀌는 것 — 보험료는 멈추고 보장은 계속

  • 납입면제가 BEL을 어떻게 키우는지 (보험료 수입이 면제되니 부채 증가)

지금까지 (2 장) 의 정액형 상품은 보유계약이 사망 / 해지로 줄기만 했습니다. 이 챕터는 계약이 한 상태에서 다른 상태로 옮겨 가는 첫 사례입니다.

상품 소개 — 납입면제#

보험료 납입면제 (waiver of premium) 는 피보험자가 장해 등 정해진 사유에 해당하면, 그 이후의 보험료 납입을 면제 하면서 보장은 그대로 유지하는 특약입니다. 보험료를 더 안 내도 사망보험금 · 진단금 등은 계속 보장됩니다 — 면제된 보험료는 사실상 보험사가 부담하는 셈입니다.

엔진 관점에서 한 계약은 두 상태 중 하나에 있습니다:

  • active — 정상 납입 중. 매월 보험료를 내고, 사망 / 해지 / 납입면제 진입 의 위험에 노출.

  • waiver — 납입면제 상태. 보험료를 안 내지만 보장은 계속. 사망으로만 빠져나감 (해지는 보통 없음).

매월 active 계약의 일부가 납입면제 사유로 waiver 로 전이 합니다. 이 전이율이 waiver_incidence_annual 입니다.

모델링 매핑 — 2-state#

자리

무엇

Basis.state_model

STATE_MODELS["WAIVER"] — active / waiver 2-state 모델

Basis.waiver_incidence_annual

active → waiver 연 전이율 callable (sex, issue_age, duration)

ModelPoints.state

각 계약의 시작 상태. 신계약은 STATE_ACTIVE (납입 중)

핵심은 두 상태에서 보험료와 보장이 다르게 작동 한다는 점:

  • 보험료 는 active 점유 에만 곱해집니다 — waiver 로 옮겨 간 계약은 더 안 냅니다.

  • 사망보험금 은 전체 보유계약 (active + waiver) 에 곱해집니다 — waiver 계약도 보장은 살아 있으니까.

한 계약 — 손계산과 엔진#

납입면제의 효과를 또렷이 보려고, 보험료가 사망보험금을 정확히 상쇄 하도록 설정합니다 (월 보험료 1,000 = 월 사망보험금 기대값 1% × 100,000). 납입면제가 없으면 BEL = 0 이고, 납입면제가 들어오면 그만큼 부채가 생깁니다.

예제 설정

  • 가입연령 40세, 보험기간 3개월, active 로 시작

  • 월 사망률 1%, 해지 없음, 월 납입면제 발생률 10%

  • 사망보험금 100,000, 월 보험료 1,000

  • 월 할인율 0 (상태 전이에 집중)

import numpy as np
import fastcashflow as fcf
from fastcashflow import STATE_MODELS, STATE_ACTIVE

# 사망률 함수 -- 월 1% 의 연 환산 (평탄)
death_fn  = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.01) ** 12)
# 해지율 함수 -- 해지 없음
lapse_fn  = lambda s, a, d: np.full(d.shape, 0.0)
# 납입면제 발생률 함수 -- 월 10% 의 연 환산 (active → waiver 전이율)
waiver_fn = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.10) ** 12)

# 산출기초
basis = fcf.Basis(
    mortality_annual        = death_fn,                # 보유계약 감쇠용 사망률 (월 1%)
    lapse_annual            = lapse_fn,                # 해지율 (해지 없음)
    waiver_incidence_annual = waiver_fn,               # active → waiver 전이율 (월 10%)
    discount_annual         = 0.0,                     # 연 할인율 0 (검증 단순화)
    ra_confidence           = 0.75,                    # 위험조정 신뢰수준 75%
    mortality_cv            = 0.10,                    # 사망률 변동계수 10%
    state_model             = STATE_MODELS["WAIVER"],  # 2-state: active / waiver
    coverages               = (
        fcf.CoverageRate("DEATH", death_fn),  # 사망 보장 1종 (청구 rate = death_fn)
    ),
)

# 모델 포인트 (계약 하나, active 로 시작)
mp = fcf.ModelPoints.single(
    issue_age           = 40,            # 가입연령 40세
    sex                 = 0,             # 성별 (0=남, 1=여)
    benefits            = {0: 100_000},  # 0번 보장 (= DEATH) 의 보험금 100,000
    premium             = 1_000,         # 월납 보험료 1,000
    term_months         = 3,             # 보험기간 3개월
    state               = STATE_ACTIVE,  # 시작 상태 (active = 납입 중)
    calculation_methods = {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
)

m = fcf.gmm.measure(mp, basis)
print(f"inforce    = {m.cashflows.inforce[0, :3]}")     # 보유계약 (active + waiver)
print(f"premium_cf = {m.cashflows.premium_cf[0, :3]}")  # 보험료 (active 만 납입)
print(f"claim_cf   = {m.cashflows.claim_cf[0, :3]}")    # 사망보험금 (전체 inforce)
print(f"BEL        = {m.bel[0]:.2f}")                   # 최선추정부채

출력:

inforce    = [1.     0.99   0.9801]
premium_cf = [1000.    891.    793.881]
claim_cf   = [1000.    990.    980.1]
BEL        = 285.22

손계산으로 상태 점유를 따라갑니다. active 는 매월 사망 (1%) 과 납입면제 전이 (10%) 로 둘 다 빠지고, waiver 는 사망 (1%) 으로만 빠집니다:

t

active

waiver

전체 inforce

보험료 (active × 1,000)

사망보험금 (inforce × 1% × 100,000)

0

1.000000

0.000000

1.000000

1,000.00

1,000.00

1

0.891000

0.099000

0.990000

891.00

990.00

2

0.793881

0.186219

0.980100

793.88

980.10

  • active[t] = (0.99 × 0.90)^t — 사망 0.99 와 납입면제 0.90 를 둘 다 곱함

  • 전체 inforce[t] = 0.99^t — 사망으로만 줄어듦 (waiver 는 in-force 유지)

  • BEL = PV(사망보험금) − PV(보험료) = (1,000 + 990 + 980.1) − (1,000 + 891 + 793.88) = 2,970.1 − 2,684.88 = 285.22

엔진의 premium_cf / claim_cf 가 표의 두 열과 정확히 일치합니다.

납입면제가 없으면 BEL = 0

waiver_incidence_annual 을 0 으로 두면 active 점유가 전체 inforce 와 같아져 보험료 (1,000 × inforce) 가 사망보험금 (inforce × 1% × 100,000 = 1,000 × inforce) 을 매월 정확히 상쇄 → BEL = 0. 납입면제가 들어오는 순간 보험료 수입만 빠지고 보장은 그대로라, 그 차액이 곧 부채 285.22 로 나타납니다. 이것이 납입면제의 비용입니다.

결과 읽기 — 보험료와 보장의 비대칭#

납입면제 모델의 한 줄 요약: 보험료는 active 에만, 보장은 전체 inforce 에.

  • premium_cf 가 claim_cf 보다 빠르게 줄어드는 게 핵심 신호입니다. 위 예제에서 t=2 의 보험료 793.88 vs 사망보험금 980.10 — active 점유가 전체 inforce 보다 작아서 생기는 격차.

  • 이 격차의 현재가치 합이 BEL을 양수로 (= 손실 쪽으로) 밀어 올립니다.

  • 납입면제 발생률이 높을수록 active 가 빨리 빠져 보험료 수입이 줄고 BEL이 커집니다.

상태 점유는 trajectory 에 직접 노출되지 않음

Measurement 는 active / waiver 의 분리 점유를 따로 내주지 않습니다 — inforce 는 두 상태의 합입니다. 위 손계산처럼 active 점유는 premium_cf / premium 로 역산할 수 있습니다 (보험료가 active 에만 곱해지므로). 상태별 점유가 필요한 정밀 검증은 검증 패턴 의 gmm.trace 로.

변형 — 발생률 축과 워크북 연결#

발생률을 연령 / 경과에 의존시키기#

waiver_incidence_annual 도 다른 rate 함수와 같은 (sex, issue_age, duration) 시그니처라, 실무에서는 평탄 상수 대신 경험률표 룩업을 넣습니다. 워크북으로 평가할 때는 basis.xlsx 의 waiver_tables 시트에 표를 채우고 segments 시트의 waiver_table 컬럼이 그 table_id 를 가리키게 합니다 (자세한 시트 구조는 튜토리얼 11장).

함정#

함정 1 — state_model 을 안 거는 경우#

waiver_incidence_annual 만 넣고 state_model 을 생략하면 엔진이 WAIVER_MODEL 을 암묵적으로 적용합니다. 동작은 같지만, 명시적으로 state_model = STATE_MODELS["WAIVER"] 를 거는 것 이 의도를 드러내고 다른 state 모델로 바꿀 때 한 자리만 고치면 되는 안전한 패턴입니다.

함정 2 — 시작 상태를 안 줌#

ModelPoints 의 state 를 생략하면 STATE_ACTIVE (납입 중) 로 시작합니다. 신계약은 그게 맞지만, 결산 시점에 이미 납입면제 중인 보유계약을 평가할 때는 state = STATE_WAIVER 로 시작 상태를 명시해야 합니다.

함정 3 — waiver 에서 보험료가 계속 잡힘#

직접 2-state 를 안 쓰고 보험료를 그냥 0 으로 만들어 흉내 내면, 언제부터 면제되는지의 전이 동학이 사라져 BEL이 틀립니다. 납입면제는 “보험료를 0 으로” 가 아니라 “active 점유가 매월 waiver 로 빠져나가는” 상태 전이로 모델링해야 정확합니다.

인접 레시피#