4.2 장해소득보상 (DI, Semi-Markov)#
이 챕터에서 배우는 것
장해소득보상 (DI = Disability Income) 을 Semi-Markov 로 — disabled 상태에 머무는 동안 매월 정액 소득을 지급하고, 회복하면 active 로 되돌아가는 (re-entry) 구조
회복률 (disabled → active) 이 장해 경과 (sojourn) 에 가파르게 의존 — 급성기엔 회복이 잦고 만성화되면 거의 멈춤. Semi-Markov 의 가장 교과서적인 동기
State(benefit=True)가 점유에disability_income을 매월 곱하는 자리 (lump 이 아니라 정기 소득)이미 장해 중인 청구건의 준비금 = disabled life reserve (DLR) 를 disabled 자리 지정으로 평가
4.1 재진단암 과의 차이 — 재진단은 전진 (post_first → post_second, lump), DI 는 회복 re-entry (disabled → active, 매월 소득)
4.1 재진단암 은 한 방향으로만 흐르는 (healthy → post_first → post_second) Semi-Markov 였습니다. 이 챕터는 되돌아오는 전이를 더합니다 — 장해에서 회복 해 active 로 복귀하는 흐름이고, 그 회복률이 장해 경과에 의존하는 것이 DI 의 핵심입니다.
상품 소개 — 장해소득과 회복#
장해소득보상 (Disability Income) 은 피보험자가 장해 상태가 되면 그 기간 동안 매월 정액 을 지급하고, 회복하면 지급을 멈추는 보장입니다. 진단 시 한 번 주는 일시금 (4.1 의 진단금) 과 달리, 장해가 지속되는 한 매월 나가는 소득입니다.
DI 가 Semi-Markov 의 대표 동기인 이유는 회복률 (장해 → 정상) 이 장해 경과에 가파르게 의존 하기 때문입니다:
급성기 (장해 직후 몇 달) — 회복이 잦습니다. 일시적 장해가 빠르게 풉니다.
만성기 (장해가 오래됨) — 회복이 거의 멈춥니다. 오래 장해 상태인 사람은 계속 장해일 확률이 높습니다.
“지금 장해냐 아니냐” 만이면 Markov 로 충분하지만, “장해가 된 지 몇 개월이냐” 가 회복률을 가르므로 disabled 상태의 경과 (코호트) 를 추적해야 합니다 — Semi-Markov 입니다.
DLR — disabled life reserve
DI 준비금은 두 조각입니다. active life reserve (ALR) 는 아직 건강한 가입자가 미래에 장해가 될 위험의 준비금이고, disabled life reserve (DLR) 는 이미 장해 중인 청구건이 회복 / 사망할 때까지 줄 미래 소득의 준비금입니다. 회복률의 경과 의존이 가장 직접적으로 작동하는 곳이 DLR 이라, 이 챕터의 기본 예제는 disabled 에 자리 지정한 DLR 입니다 (ALR 은 변형에서).
모델링 매핑 — active / disabled 2-state (회복 re-entry)#
이 모델도 번들 (STATE_MODELS) 에 없어 직접 조립합니다.
자리 |
무엇 |
|---|---|
|
정상. 보험료 납입, 사망 / 장해 발생 / 해지에 노출 |
|
장해. |
|
장해 발생 — active → disabled |
|
회복 — disabled → active, 경과 의존 (re-entry) |
|
장해 발생률. 시그니처 |
|
회복률. 시그니처 |
|
disabled 점유에 매월 곱하는 정액 소득 (lump 인 |
장해 발생률이 waiver_incidence 슬롯을 쓰는 이유
active → disabled 전이는 waiver_incidence_annual 을 씁니다. 3.1 납입면제
의 “납입면제 발생” 과 DI 의 “장해 발생” 은 같은 사건 (장해 발생) 이기
때문입니다 — 한쪽은 그 결과로 보험료를 면제하고, 다른 쪽은 소득을 지급할 뿐
트리거는 동일합니다. 그래서 같은 발생률 슬롯을 공유합니다.
회복률은 경과 (sd = 장해 경과개월, state duration) 가 작을 때 높고 커질수록 떨어지는 표를 룩업합니다 — DI
경험표의 전형적 모양입니다:
# 급성기 (sd<2) 월 30% 회복, 만성기 (sd>=2) 월 5%
recovery_fn = lambda s, a, d, sd: np.where(sd < 2, 1 - (1 - 0.30) ** 12,
1 - (1 - 0.05) ** 12)
최소 작동 예제 — DLR (disabled 자리 지정)#
이미 장해 중인 청구건 하나의 준비금을 봅니다. 계약을 disabled 에 자리 지정하고
(state = 1), 회복 / 사망까지 줄 미래 소득을 평가합니다.
예제 설정
가입연령 45세, 잔여 6개월, disabled 로 시작 (DLR)
월 사망률 1%, 월 장해소득 1,000,000, 사망보험금 0 (소득에 집중)
회복률 급성기 (sd<2) 월 30% → 만성기 (sd>=2) 월 5%
신규 장해 없음 (DLR 이라 active 유입 불필요), 월 할인율 0
import numpy as np
import fastcashflow as fcf
from fastcashflow import State, Transition, StateModel
# rate 함수 -- 평탄 rate (실무는 경험률표 룩업)
death_fn = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.01) ** 12) # 사망률 월 1%
lapse_fn = lambda s, a, d: np.full(d.shape, 0.0) # 해지 없음
incidence_fn = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 0.0) # 신규 장해 없음 (DLR)
# 회복률 -- 네 번째 인자 sd = 장해 경과개월. 급성기 30% → 만성기 5%
recovery_fn = lambda s, a, d, sd: np.where(sd < 2, 1 - (1 - 0.30) ** 12,
1 - (1 - 0.05) ** 12)
# 상태 모델 -- active ↔ disabled (회복 re-entry)
model = StateModel(states=(
State("active", premium=True, transitions=(
Transition("mortality"), # in-force 감쇠
Transition("waiver_incidence", to="disabled"), # 장해 발생
Transition("lapse"),
)),
State("disabled", benefit=True, duration_max=24, transitions=( # 매월 소득 + 경과 추적
Transition("mortality"),
Transition("disability_recovery", to="active",
duration_dependent=True), # 회복 (경과 의존)
)),
), seating=(0, 1, 1))
# 산출기초
basis = fcf.Basis(
mortality_annual = death_fn, # 보유계약 감쇠용 사망률 (월 1%)
lapse_annual = lapse_fn, # 해지율 (없음)
waiver_incidence_annual = incidence_fn, # 장해 발생률 (DLR 이라 0)
disability_recovery_annual = recovery_fn, # 회복률 (급성 30% → 만성 5%)
discount_annual = 0.0, # 연 할인율 0 (검증 단순화)
ra_confidence = 0.75, # 위험조정 신뢰수준 75%
mortality_cv = 0.10, # 사망률 변동계수 10%
disability_cv = 0.20, # 장해율 변동계수 20%
state_model = model, # 직접 조립한 Semi-Markov 모델
coverages = (
fcf.CoverageRate("DEATH", death_fn), # 사망 보장 1종
),
)
# 모델 포인트
mp = fcf.ModelPoints(
issue_age = np.array([45], dtype=np.int64), # 가입연령 45세
benefits = {0: np.array([0.0])}, # 사망보험금 0
premium = np.array([0.0]), # 보험료 0
term_months = np.array([6], dtype=np.int64), # 잔여 6개월
disability_income = np.array([1_000_000.0]), # 월 장해소득 1,000,000
state = np.array([1], dtype=np.int64), # disabled 코호트 0 에 자리 지정
calculation_methods = {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
)
m = fcf.gmm.measure(mp, basis)
print(f"inforce = {m.cashflows.inforce[0]}") # 보유계약 (active + disabled)
print(f"disability_cf = {m.cashflows.disability_cf[0]}") # 장해소득 (disabled 점유 × 월액)
print(f"BEL = {m.bel[0]:.2f}") # 최선추정부채 (= DLR)
print(f"RA = {m.ra[0]:.2f}") # 위험조정
print(f"CSM = {m.csm[0]:.2f}") # 계약서비스마진
출력:
inforce = [1. 0.99 0.9801 0.970299 0.96059601 0.95099005]
disability_cf = [1000000. 693000. 480249. 451674.1845
424799.57052225 399523.99607618]
BEL = 3449246.75
RA = 465296.32
CSM = 0.00
참고
4.1 과 마찬가지로 disability_income / state 는 ModelPoints.single() 의
범위 밖이라 전체 생성자 fcf.ModelPoints(...) 로 넘깁니다.
결과 읽기 — 회복률의 경과 의존이 만드는 꺾임#
DI 모델의 한 줄 요약: disability_cf 의 감소 속도가 꺾이는 자리가 회복률이
떨어지는 (만성화) 경과다.
t |
disability_cf |
장해 경과 sd |
회복률 |
직전 대비 |
|---|---|---|---|---|
0 |
1,000,000.00 |
0 |
30% |
— |
1 |
693,000.00 |
1 |
30% |
×0.693 |
2 |
480,249.00 |
2 |
5% |
×0.693 |
3 |
451,674.18 |
3 |
5% |
×0.9405 |
4 |
424,799.57 |
4 |
5% |
×0.9405 |
5 |
399,523.996 |
5 |
5% |
×0.9405 |
disability_cf[t] = disabled 점유 × 1,000,000— 매월 disabled 점유에 비례.급성기 (sd 0~1) 회복률 30% 라, disabled 점유가 매월
×0.99 (사망) ×0.70 (회복) = ×0.693로 빠르게 빠집니다.만성기 (sd 2 부터) 회복률 5% 로 떨어져,
×0.99 ×0.95 = ×0.9405로 감소가 급격히 느려집니다 — 표의 t=2 → t=3 에서 0.693 이 0.9405 로 꺾이는 자리입니다. 오래 장해일수록 회복이 어려워지는 DI 의 전형이고, 이 꺾임이 Semi-Markov 가 아니면 표현되지 않습니다.
inforce 와 disability_cf 가 다르게 줄어드는 이유
inforce (= active + disabled 합) 는 0.99^t 로 사망으로만 줄어듭니다 —
회복한 사람은 active 로 옮겨갈 뿐 보유계약에 남고, 이 예제는 신규 장해 ·
해지가 없기 때문입니다. 반면 disability_cf 가 떠받치는 disabled 점유는
사망 과 회복으로 줄어 더 빠릅니다. 둘의 차이가 회복해서 active 로 돌아간
누적분입니다.
변형 — ALR · 회복표 · 최소보장기간#
active 에서 시작 — ALR (신계약)#
신규 DI 계약을 가입 시점부터 보려면 state 를 active (STATE_ACTIVE) 로 두고
장해 발생률을 켭니다 (waiver_incidence_annual > 0). 그러면 active 점유가
매월 disabled 로 흘러 들어가 소득을 받기 시작하고, 일부는 회복해 돌아옵니다:
from dataclasses import replace
from fastcashflow import STATE_ACTIVE
asmp_alr = replace(basis,
waiver_incidence_annual=lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.02) ** 12))
mp_alr = fcf.ModelPoints(
issue_age=np.array([45], dtype=np.int64), benefits={0: np.array([0.0])},
premium=np.array([0.0]), term_months=np.array([6], dtype=np.int64),
disability_income=np.array([1_000_000.0]), state=np.array([STATE_ACTIVE], dtype=np.int64),
calculation_methods={"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH})
현실적 율 — 호주 경험표 (IAD89-93) 기반#
본문 예제는 sd<2 2-구간 toy 지만, 실무 DI 경험표는 발생률을 연령별,
회복률을 장해 경과별 로 잘게 나눕니다. 호주 보험계리사회 (IAAust) 의
IAD89-93 장해표가 발생률의 대표 구조 (연령 상승, 성별 · 직업급 · 면책기간
차등) 이고, 회복 (종료) 률은 장해 직후 높다가 만성화하면서 급락합니다 — 장기
청구건의 연 종료율은 ~5-15% 수준입니다. 발생률은 분석식이 아니라 연령별
long-form 표 + 룩업 (견본 위험률표와 같은 (sex, age) -> rate 구조), 회복률은
경과 밴드별 표 입니다:
import numpy as np
# 계리적 가정 -- 호주 IAD89-93 / IDI 경험표 구조로 calibrate
# 장해 발생률 (active -> disabled), 연 -- 연령표 룩업 (long-form; 실무는 Excel)
ages = np.array([ 30, 40, 50, 60, 70])
di_m = np.array([0.0010, 0.0026, 0.0066, 0.0168, 0.0430]) # 남
di_f = np.array([0.0014, 0.0032, 0.0072, 0.0170, 0.0420]) # 여 (젊은 연령서 더 높음)
def di_incidence(s, a, d): # 연령표 룩업 (VLOOKUP 식 보간)
a = np.asarray(a, dtype=float)
return np.where(np.asarray(s) == 1,
np.interp(a, ages, di_f), np.interp(a, ages, di_m))
# 회복률 (disabled -> active), 연 -- 장해 경과 sd(개월) 밴드별 표: 급성 높고 만성 급락
# (IDI 종료율: 13-24개월 ~15% / 25-60개월 ~12% / >60개월 ~10%, 회복분은 그 이하)
def di_recovery(s, a, d, sd):
return np.select([sd < 12, sd < 24, sd < 60], [0.45, 0.16, 0.09], default=0.05)
print("발생률 30/40/50/60 :", [round(float(di_incidence(np.array([0]), np.array([a]), 0)[0]), 5)
for a in (30, 40, 50, 60)])
print("회복률 1/2/4/6년 :", [float(di_recovery(0, 0, 0, m)) for m in (6, 18, 48, 72)])
발생률 30/40/50/60 : [0.001, 0.0026, 0.0066, 0.0168]
회복률 1/2/4/6년 : [0.45, 0.16, 0.09, 0.05]
di_incidence 를 waiver_incidence_annual 에, di_recovery 를
disability_recovery_annual 에 그대로 넣으면 — 본문 toy 와 같은 슬롯 — 연령
상승 발생과 경과 의존 회복이 함께 작동합니다.
출처 / 근거
발생률 구조 — IAD89-93 (호주 보험계리사회 장해위원회 1989-93 graduated 발생률표; 성별 · 5세 연령군 · 직업급 · 면책기간 · 흡연 차등).
회복 · 종료율 구조 — 개별장해소득 (IDI) 경험연구의 종료율 (장기 청구건 연 ~5-15%, 급성기 회복은 그보다 훨씬 높음).
실업률과 발생률의 양 (+) 관계 — Actuaries Institute 의 호주 DII 연구 (실업률 1%p 상승 시 남성 +3.45% / 여성 +8.55% 발생).
duration_max 는 회복을 경과별로 추적할 개월 수입니다. 1~2년차의 회복 급락을
담으려면 duration_max=24 (2년) 이상이 무난하고, 마지막 코호트가 그 이상의
장기 장해를 흡수합니다.
최소보장기간 / 면책#
장해 직후 일정 기간은 무조건 지급 (회복 무시) 하거나, 반대로 일정 기간이
지나야 지급을 시작하는 (elimination period) 설계는 회복률 / 소득 지급을 sd
로 분기해 표현합니다 — 4.1 의 재진단 면책과 같은 경과 축 기법입니다.
함정 / 검증#
손계산 검증 — disabled 1개월#
disabled 에 자리 지정하고 (state=1) 한 달만 굴리면, 그 달의 장해소득
하나만 남습니다 (할인 0, 사망보험금 0). BEL = disability_income =
1,000,000. 위 예제의 disability_cf[0] 과 같은 값입니다.
mp1 = fcf.ModelPoints(
issue_age=np.array([45], dtype=np.int64), benefits={0: np.array([0.0])},
premium=np.array([0.0]), term_months=np.array([1], dtype=np.int64),
disability_income=np.array([1_000_000.0]), state=np.array([1], dtype=np.int64),
calculation_methods={"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH})
print(f"seated 1mo BEL = {fcf.gmm.measure(mp1, basis, full=False).bel[0]:.2f}") # -> 1000000.00
함정 1 — disability_income 과 disability_benefit 혼동#
disability_income— benefit 상태 점유에 매월 곱하는 정기 소득. DI 가 쓰는 자리.disability_benefit—lump_sum전이가 한 번 지급하는 일시금. 4.1 재진단금이 쓰는 자리.
DI 에서 disability_benefit 에 금액을 넣고 disability_income 을 비우면
매월 소득이 0 이 됩니다 (transition lump 이 없으니 아무것도 안 나감).
함정 2 — duration_max = 0 이면 회복의 경과 의존 불가#
disabled 의 duration_max 를 0 으로 두면 경과를 추적하지 않아 회복률의
경과 의존 (급성 → 만성 꺾임) 을 표현할 수 없습니다 — DI 의 핵심이 사라집니다.
함정 3 — 회복을 in-force 감쇠로 착각#
회복 (disabled → active) 은 보유계약을 떠나보내지 않습니다 — active 로 되돌아갈 뿐입니다. in-force 를 줄이는 것은 사망 / 해지뿐입니다. 회복을 decrement 로 잘못 두면 보유계약이 과소평가됩니다.
인접 레시피#
4.1 재진단암 보험 — 같은 Semi-Markov 인프라, 단 전진 (재진단 lump) 이고 본 챕터는 회복 re-entry (매월 소득).
3.1 보험료 납입면제 — 장해 발생률 (
waiver_incidence) 의 출발점. DI 의 active → disabled 가 같은 슬롯을 공유.검증 패턴 —
gmm.trace로 상태별 · 코호트별 점유와 소득 지급을 한 줄씩 확인.