4.1 재진단암 보험 (Semi-Markov)#

이 챕터에서 배우는 것

  • Semi-Markov (상태 안에서의 경과 시간 에 의존하는 모델) 의 첫 사례 — 앞의 Markov 챕터는 “어느 상태냐” 만 봤지만, 여기서는 “그 상태에 들어온 지 몇 개월이냐” 가 보험금을 가른다

  • 등록된 모델이 없어 State / Transition / StateModel 로 상태 모델을 직접 조립 — 쿡북에서 처음

  • State.duration_max (코호트 추적) 와 Transition.duration_dependent (경과 의존 전이) 의 연결

  • 재진단 면책기간 을 ci_reincidence_annual 의 네 번째 인자 (state duration) 로 표현하는 자리

  • 1차 / 2차 진단금이 lump_sum 전이로 들어가는 자리와, disability_benefit 한 금액을 공유하는 제약

3. Markov 상태 는 “어느 상태에 있느냐” 로 보험료와 보장이 갈렸습니다. 이 챕터는 한 걸음 더 갑니다 — 그 상태에 들어온 지 얼마나 지났느냐 가 보장을 가르는 Semi-Markov 입니다. 한국 시장의 재진단암 보장이 대표 사례입니다.

상품 소개 — 재진단암과 면책기간#

재진단암 보장 은 암을 한 번 진단받은 뒤, 일정 기간이 지나 다시 암을 진단받으면 진단금을 또 지급하는 구조입니다. 핵심은 1차 진단 직후에는 재진단 보장이 발효되지 않는 점입니다 — 1차 진단 후 보통 1~2년의 재진단 면책기간 을 둡니다. 같은 암의 잔존 / 전이를 새 사건으로 잘못 지급하는 것을 막기 위해서입니다.

이 구조가 1.4 보장 청구 메커니즘 의 단순 진단금 (DIAGNOSIS) 으로 표현되지 않는 이유는, 2차 보장이 두 가지에 동시에 의존 하기 때문입니다:

  • 상태 — 1차 진단을 이미 거쳤는가 (안 거쳤으면 재진단이라는 말이 성립 안 함)

  • 경과 — 1차 진단 후 면책기간을 넘겼는가

“어느 상태냐” 만이면 Markov 로 충분하지만, “그 상태에 들어온 지 몇 개월이냐” 가 더해지면 상태별 경과(코호트)를 추적 해야 합니다. 그것이 Semi-Markov 입니다.

코호트 (cohort) 란

같은 시점에 같은 상태로 들어온 무리를 하나의 코호트 로 봅니다. post_first (1차 진단 후) 상태를 “들어온 지 0개월 / 1개월 / 2개월 …” 코호트로 쪼개 추적하면, 각 코호트가 면책기간을 넘겼는지 따로 알 수 있습니다. duration_max 가 추적할 코호트 수 (개월) 입니다.

모델링 매핑 — Semi-Markov 3-state#

이 상품은 번들 모델 (STATE_MODELS) 에 없습니다. State / Transition / StateModel 로 직접 조립합니다 — 세 상태와 그 사이 전이를 그대로 적습니다.

자리

무엇

State("healthy", premium=True, ...)

정상 (1차 진단 전). 보험료 납입, 사망 / 1차 진단 / 해지에 노출

State("post_first", duration_max=12, ...)

1차 진단 후. duration_max > 0 이 코호트 추적을 켠다 (Semi-Markov)

State("post_second", ...)

2차 진단 후. 추가 추적 없이 사망까지

Transition("ci_incidence", to="post_first", lump_sum=True)

1차 진단 — healthy → post_first, 진단금 지급

Transition("ci_reincidence", to="post_second", lump_sum=True, duration_dependent=True)

2차 진단 — post_first → post_second, 경과 의존 (면책기간이 여기)

Basis.ci_incidence_annual

1차 진단율. 시그니처 (sex, issue_age, duration) — 기존 rate 와 동일

Basis.ci_reincidence_annual

2차 진단율. 시그니처 (sex, issue_age, duration, state_duration) — 네 번째 인자 state_duration 가 post_first 진입 후 경과개월

ModelPoints.disability_benefit

lump_sum 전이가 지급하는 금액. 모든 lump_sum 전이가 공유 (아래 함정)

면책기간은 별도 필드가 아니라 ci_reincidence_annual 안에서 자연스럽게 표현됩니다 — 네 번째 인자 state_duration 가 면책개월 미만이면 0 을 돌려줍니다:

# 면책 2개월: post_first 진입 후 sd < 2 면 재진단율 0, 이후 월 20%
reincid_fn = lambda s, a, d, sd: np.where(sd < 2, 0.0, 1 - (1 - 0.20) ** 12)

최소 작동 예제#

가입연령 40세, 보험기간 4개월의 한 계약입니다. 손계산이 따라가도록 rate 를 평탄하게 (실무는 경험률표 룩업) 두고, 진단율 · 진단금을 일부러 크게 잡아 면책기간의 효과가 또렷이 보이게 했습니다.

예제 설정

  • 가입연령 40세, 보험기간 4개월, healthy 로 시작

  • 월 사망률 1%, 사망보험금 100,000, 보험료 0 (보장 동학에 집중)

  • 1차 진단 월 5%, 재진단 월 20% (면책 2개월), 진단금 1,000,000 (1차 = 2차)

  • 월 할인율 0

import numpy as np
import fastcashflow as fcf
from fastcashflow import State, Transition, StateModel

# rate 함수 -- 모든 rate 는 평탄 상수 (실무는 경험률표 룩업)
death_fn     = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.01) ** 12)  # 사망률 월 1%
lapse_fn     = lambda s, a, d: np.full(d.shape, 0.0)                   # 해지 없음
incidence_fn = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.05) ** 12)  # 1차 진단 월 5%

# 재진단 -- 네 번째 인자 sd = post_first 진입 후 경과개월. 면책 2개월 후 월 20%
reincid_fn   = lambda s, a, d, sd: np.where(sd < 2, 0.0, 1 - (1 - 0.20) ** 12)

# 상태 모델 -- healthy → post_first → post_second (직접 조립)
model = StateModel(states=(
    State("healthy", premium=True, transitions=(
        Transition("mortality"),                                       # in-force 감쇠
        Transition("ci_incidence", to="post_first", lump_sum=True),    # 1차 진단금
        Transition("lapse"),
    )),
    State("post_first", duration_max=12, transitions=(                 # 경과 추적 (코호트)
        Transition("mortality"),
        Transition("ci_reincidence", to="post_second",
                   lump_sum=True, duration_dependent=True),            # 2차 진단금 (면책 의존)
    )),
    State("post_second", transitions=(
        Transition("mortality"),
    )),
), seating=(0, 1, 2))

# 산출기초
basis = fcf.Basis(
    mortality_annual      = death_fn,       # 보유계약 감쇠용 사망률 (월 1%)
    lapse_annual          = lapse_fn,       # 해지율 (없음)
    ci_incidence_annual   = incidence_fn,   # 1차 진단율 (월 5%)
    ci_reincidence_annual = reincid_fn,     # 2차 진단율 (면책 2개월 후 월 20%)
    discount_annual       = 0.0,            # 연 할인율 0 (검증 단순화)
    ra_confidence         = 0.75,           # 위험조정 신뢰수준 75%
    mortality_cv          = 0.10,           # 사망률 변동계수 10%
    state_model           = model,          # 직접 조립한 Semi-Markov 모델
    coverages             = (
        fcf.CoverageRate("DEATH", death_fn),  # 사망 보장 1종
    ),
)

# 모델 포인트
mp = fcf.ModelPoints(
    issue_age          = np.array([40], dtype=np.int64),     # 가입연령 40세
    benefits           = {0: np.array([100_000.0])},         # 사망보험금 100,000
    premium      = np.array([0.0]),                    # 보험료 0
    term_months        = np.array([4], dtype=np.int64),      # 보험기간 4개월
    disability_benefit = np.array([1_000_000.0]),            # 진단금 1,000,000 (1차 = 2차)
    calculation_methods= {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
)

m = fcf.gmm.measure(mp, basis)
print(f"inforce       = {m.cashflows.inforce[0]}")        # 보유계약 (사망으로만 감쇠)
print(f"claim_cf      = {m.cashflows.claim_cf[0]}")       # 사망보험금
print(f"disability_cf = {m.cashflows.disability_cf[0]}")  # 진단금 (1차 + 2차)
print(f"BEL           = {m.bel[0]:.2f}")                  # 최선추정부채
print(f"RA            = {m.ra[0]:.2f}")                   # 위험조정
print(f"CSM           = {m.csm[0]:.2f}")                  # 계약서비스마진

출력:

inforce       = [1.       0.99     0.9801   0.970299]
claim_cf      = [1000.     990.     980.1    970.299]
disability_cf = [49500.         46554.75       43784.742375   50785.51030369]
BEL           = 194565.40
RA            = 265.78
CSM           = 0.00

참고

fcf.ModelPoints.single(...) 대신 전체 생성자 fcf.ModelPoints(...) 를 씁니다 — disability_benefit / state 처럼 Semi-Markov 가 쓰는 입력은 single() 의 범위 (1 계약 + N 담보) 밖이라 전체 생성자로 직접 넘깁니다.

결과 읽기 — 면책기간이 만드는 점프#

재진단암 모델의 한 줄 요약: disability_cf 의 점프가 면책기간이 끝나는 자리다.

  • inforce = 0.99^t — 사망 (월 1%) 으로만 줄어듭니다. 1차 / 2차 진단은 상태 사이를 옮길 뿐 보유계약을 떠나보내지 않으므로 (healthy → post_first → post_second 모두 보유계약), in-force 총합은 진단과 무관합니다.

  • claim_cf — 사망보험금. inforce × 1% × 100,000.

  • disability_cf — 진단금 lump 들의 합. 여기에 면책기간이 드러납니다:

t

disability_cf

내역

0

49,500.00

1차 진단금만 (post_first 가 아직 빔)

1

46,554.75

1차 진단금만 (재진단은 면책 안)

2

43,784.74

1차 진단금만 (재진단은 면책 안)

3

50,785.51

1차 진단금 (약 41,180) + 첫 2차 진단금 (약 9,606)

t=0~2 는 1차 진단금이 매월 사망만큼 (× 0.9405) 줄며 이어집니다. t=3 에서 값이 점프 하는 것이 재진단의 신호입니다:

  • 1차 진단 코호트는 t=0 의 transition 으로 post_first 에 생깁니다 (코호트 0).

  • 면책 2개월 = post_first 진입 후 경과 sd = 0, 1 두 달은 재진단율 0.

  • sd = 2 (post_first 3개월째) 부터 재진단이 발효 → t=3 에서 첫 2차 진단금.

즉 t=3 의 50,785 중 약 41,180 은 1차 진단금의 연속이고, 약 9,606 이 면책이 풀리며 처음 나타난 2차 진단금입니다. 면책을 더 길게 잡으면 이 점프가 그만큼 뒤로 밀립니다.

변형 — 면책 · 추적기간 · 진단금 분리#

현실적 율 — 공개 암발생률 + 재발 hazard#

면책은 ci_reincidence_annual 의 sd 분기 하나로 정해집니다 (1년이면 sd < 12, 2년이면 sd < 24). 실무에서는 평탄 상수 대신 1차 진단율을 공개 암발생률 (국가암등록) 의 연령표 로 깔고 (Excel 룩업), 재진단율을 그 위에 재발 hazard 배수 로 얹습니다 — 재발 위험은 1차 진단 후 1~3년에 높고 (면책 직후), 5년이 지나면 신규 원발암 수준으로 가라앉는 임상적 패턴입니다. 율은 분석식이 아니라 연령별 long-form 표 + 룩업 (견본 incidence_rate_tables 와 같은 (sex, age) -> rate 구조를 inline 으로) 입니다:

import numpy as np

# 계리적 가정 -- 1차 진단율 = KOSIS 국가암등록 연령표 (long-form; 실무는 Excel 룩업)
ages = np.array([   30,     40,     50,     60,     70])
ca_m = np.array([0.0010, 0.0023, 0.0052, 0.0117, 0.0264])   # 남
ca_f = np.array([0.0028, 0.0040, 0.0061, 0.0108, 0.0220])   # 여 (젊은연령 갑상선↑)

def ca_incidence(s, a, d):                          # 연령표 룩업 (VLOOKUP 식 보간)
    a = np.asarray(a, dtype=float)
    return np.where(np.asarray(s) == 1,
                    np.interp(a, ages, ca_f), np.interp(a, ages, ca_m))

def ca_reincidence(s, a, d, sd):                    # 재진단율 = 1차 x 재발배수 (면책 12개월)
    factor = np.select([sd < 12, sd < 36, sd < 60], [0.0, 1.8, 1.2], default=0.9)
    return ca_incidence(s, a, d) * factor

print("1차 30/40/50/60 :", [round(float(ca_incidence(np.array([0]), np.array([a]), 0)[0]), 5)
                           for a in (30, 40, 50, 60)])
print("재발배수 sd6/24/48/72:", [float(np.select([np.array([x]) < 12, np.array([x]) < 36,
       np.array([x]) < 60], [0.0, 1.8, 1.2], default=0.9)[0]) for x in (6, 24, 48, 72)])

1차 30/40/50/60 : [0.001, 0.0023, 0.0052, 0.0117]
재발배수 sd6/24/48/72: [0.0, 1.8, 1.2, 0.9]

ca_incidence 를 ci_incidence_annual, ca_reincidence 를 ci_reincidence_annual 에 넣으면 1차 진단은 공개 발생률을, 재진단은 면책 + 경과 의존 재발 hazard 를 따릅니다.

출처 / 근거

  • 1차 진단율 연령 구조 — 국가암등록통계 (KOSIS, 공개) 의 암 발생률 곡선 (연령 상승, 여성은 젊은 연령서 갑상선암으로 높음).

  • 재발 hazard 패턴 — 재발 위험이 진단 후 1~3년에 높고 5년 후 신규 원발암 수준으로 가라앉는 임상적 재발 곡선; sd 경과 배수로 표현.

  • 면책 (1~2년) 은 sd 임계 하나로 — sd < 12 (1년) / sd < 24 (2년).

암진단 후 사망률 (조건부 사망 가정)#

암진단을 받은 사람은 그 뒤 (전원인) 사망률이 일반보다 훨씬 높습니다 — 암진단 후 사망률. 이건 담보(지급 항목)가 아니라 가정 입니다: 진단 후 상태에 머무는 사람의 사망 decrement 로, 재진단금 의 경쟁위험 (진단자가 빨리 죽으면 재진단까지 생존자가 줄어 재진단금 부채 감소) 이자, 진단 후 월정액 같은 다른 보장을 평가하는 사망률 가정입니다 (암을 死因으로 하는 암사망 보험금 과도 별개). 진단 상태 (post_first / post_second) 가 자기 사망률 을 갖게 하려면 State.mortality_rate 로 다른 이름을 라우팅하고, Basis.state_mortality_annual 에 그 함수를 줍니다 — in-force 가 진단 후 더 빨리 소멸합니다:

pm_healthy = lambda s, a, d: np.full(np.shape(a), 0.005)   # 건강 사망 연 0.5%
pm_post    = lambda s, a, d: np.full(np.shape(a), 0.02)    # 암진단 후 연 2% (건강의 4배)
pm_lapse   = lambda s, a, d: np.full(np.shape(d), 0.05)

pm_model = StateModel(states=(
    State("healthy", premium=True, transitions=(
        Transition("mortality"), Transition("lapse"),
        Transition("ci_incidence", to="post_first", lump_sum=True))),
    State("post_first", duration_max=120, mortality_rate="dth_aft_can", transitions=(
        Transition("mortality"), Transition("lapse"),
        Transition("ci_reincidence", to="post_second", lump_sum=True, duration_dependent=True))),
    State("post_second", mortality_rate="dth_aft_can", transitions=(
        Transition("mortality"), Transition("lapse"))),
), seating=(0, 1, 2))
pm_basis = fcf.Basis(
    mortality_annual=pm_healthy, lapse_annual=pm_lapse,
    ci_incidence_annual=ca_incidence, ci_reincidence_annual=ca_reincidence,
    state_mortality_annual={"dth_aft_can": pm_post},       # 암진단 후 사망률 (가정)
    discount_annual=0.03, ra_confidence=0.75, mortality_cv=0.10, morbidity_cv=0.15,
    state_model=pm_model, coverages=(fcf.CoverageRate("CANCER1", ca_incidence),))

# post_first 에 자리 지정 -> 사망건수가 암진단 후 사망률을 따른다
pm_mp = fcf.ModelPoints(
    issue_age=np.array([50], dtype=np.int64), benefits={0: np.array([0.0])},
    premium=np.array([20_000.0]), term_months=np.array([13], dtype=np.int64),
    disability_benefit=np.array([20_000_000.0]), state=np.array([1], dtype=np.int64),
    calculation_methods={"CANCER1": fcf.CalculationMethod.DIAGNOSIS})
pm_m = fcf.gmm.measure(pm_mp, pm_basis)
print("진단후 seated deaths[0] :", round(float(pm_m.cashflows.deaths[0][0]), 5))
print("건강 / 진단후 월사망률   :", round(1 - (1 - 0.005) ** (1 / 12), 5),
      "/", round(1 - (1 - 0.02) ** (1 / 12), 5))

진단후 seated deaths[0] : 0.00168
건강 / 진단후 월사망률   : 0.00042 / 0.00168

post_first 에 자리 지정한 계약의 사망건수 (deaths[0]) 가 암진단 후 사망률 0.00168 을 따릅니다 (건강 0.00042 가 아니라). mortality_rate 를 안 주면 전역 mortality_annual 로 fallback 하므로, 암진단 후 상승 사망을 의도했다면 state_mortality_annual 에 그 함수를 반드시 넣습니다.

추적기간 duration_max#

duration_max 는 post_first 의 경과를 몇 개월까지 코호트로 추적할지입니다. 한국 재진단암은 보통 1차 진단 후 5년 (60개월) 을 추적하므로 duration_max=60 이 무난합니다. 마지막 코호트는 그 이상의 경과를 모두 흡수합니다 (long-tail). duration_max 가 크면 코호트 수만큼 계산이 늘지만 시간에 선형으로 증가합니다.

duration_max = 0 이면 Markov 로 돌아간다

post_first 의 duration_max 를 0 으로 두면 코호트 추적이 꺼져 경과를 알 수 없습니다. 그러면 duration_dependent=True 전이의 면책기간을 표현할 수 없습니다 — 재진단 보장의 핵심이 사라집니다. Semi-Markov 의 본질이 이 duration_max > 0 입니다.

1차 ≠ 2차 진단금 — DIAGNOSIS 담보로 분리#

본문 예제는 1차 / 2차 진단금이 같은 금액 입니다 — 모든 lump_sum 전이가 disability_benefit 한 값을 공유하기 때문입니다 (아래 함정). 1차를 다른 금액으로 주려면, 1차 진단금을 DIAGNOSIS 담보 로 분리하고 (고유 금액), 2차만 transition lump 로 남깁니다:

coverages = (
    fcf.CoverageRate("DEATH",   death_fn),      # 사망
    fcf.CoverageRate("CANCER1", incidence_fn),  # 1차 진단금 (DIAGNOSIS, 고유 금액)
)
# ci_incidence 전이에서는 lump_sum 을 빼고 (Transition("ci_incidence", to="post_first")),
# benefits 에 CANCER1 의 진단금을, calculation_methods 에 DIAGNOSIS 를 등록

이때 1차 진단의 발생률을 두 자리 에 쓰게 됩니다 — DIAGNOSIS 담보의 rate 와 ci_incidence 전이율. 둘은 같은 사건 (첫 암진단) 이므로 같은 함수로 맞춰 두어야 모델이 일관됩니다 (담보는 진단금 지급, 전이는 재진단 자격을 위한 상태 진행을 맡는 분업).

위험률의 vintage / composite#

한 재진단암 특약이라도 가입연도 (vintage) 에 따라 다른 경험률이 적용되거나 (예: 갑상선암 발생률 (2019) vs (2021)), 유사암처럼 여러 발생률을 합성한 (composite) 위험률을 쓸 수 있습니다. fastcashflow 는 coverage → 단일 rate 만 받으므로, vintage 선택과 composite 합성은 ETL 단계에서 미리 해서 이미 합쳐진 한 rate 를 넘깁니다.

함정 / 검증#

손계산 검증 — post_first 에 자리 지정해 한 달#

면책 밖의 재진단을 또렷이 검증하려면, 계약을 처음부터 post_first 코호트 0 에 자리 지정하고 (state = 1) 재진단을 면책 없이 (sd 무관 상수) 한 달만 굴립니다. 손계산:

  • 사망보험금 = 1.0 × 0.01 × 100,000 = 1,000

  • 재진단금 = 사망 경합 후 0.99 × 0.20 × 1,000,000 = 198,000

  • BEL = 1,000 + 198,000 = 199,000

from dataclasses import replace

mp_seat = fcf.ModelPoints(
    issue_age          = np.array([40], dtype=np.int64),
    benefits           = {0: np.array([100_000.0])},
    premium      = np.array([0.0]),
    term_months        = np.array([1], dtype=np.int64),
    disability_benefit = np.array([1_000_000.0]),
    state              = np.array([1], dtype=np.int64),   # post_first 코호트 0 에 자리 지정
    calculation_methods= {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
)
# 재진단을 면책 없이 상수로 (검증용)
asmp_no_excl = replace(basis,
    ci_reincidence_annual=lambda s, a, d, sd: np.full_like(sd, 1 - (1 - 0.20) ** 12,
                                                           dtype=float))
print(f"seated BEL = {fcf.gmm.measure(mp_seat, asmp_no_excl, full=False).bel[0]:.2f}")   # -> 199000.00

함정 1 — disability_benefit 한 금액을 모든 lump 이 공유#

lump_sum=True 전이는 전부 ModelPoints.disability_benefit 한 값을 지급합니다. 1차 / 2차 진단금을 다르게 주려면 위 변형 처럼 1차를 DIAGNOSIS 담보로 분리해야 합니다. 같은 금액이면 본문 예제처럼 둘 다 transition lump 로 두는 것이 가장 단순합니다.

함정 2 — duration_dependent 인데 rate 가 3-인자#

ci_reincidence_annual 은 네 번째 인자 state_duration 을 받아야 합니다. (s, a, d) 3-인자로 쓰면 duration_dependent=True 전이가 경과를 넘겨줄 자리가 없습니다. 면책 / 경과 의존을 쓰려면 (s, a, d, sd) 4-인자로 정의하세요.

함정 3 — 진단을 in-force 감쇠로 착각#

진단 (ci_incidence / ci_reincidence) 은 상태 사이 의 이동이라 보유계약을 떠나보내지 않습니다. in-force 를 줄이는 것은 사망 / 해지뿐입니다. 진단을 decrement 로 잘못 모델링하면 in-force 가 과소평가되고 이후 보장이 틀립니다.

인접 레시피#

  • 1.4 보장 청구 메커니즘 — 단순 진단금 (DIAGNOSIS, depleting pool). 재진단이 이걸로 안 되는 이유의 출발점.

  • 2.3 다종 진단 + 면책 / 감액 — 담보 룰의 면책 (가입경과 축) 과 본 챕터의 면책 (state 경과 축) 의 대비.

  • 3.1 보험료 납입면제 — 상태 전이 입문 (Markov).

  • 4.2 장해소득보상 (DI) — 같은 Semi-Markov 인프라로 회복률 (disabled → active) 을 경과 의존으로.

  • 검증 패턴 — gmm.trace 로 연도별 rate 와 cash flow, BEL/CSM 궤적을 한 줄씩 확인 (상태별 · 코호트별 점유는 커널 안에만 있어 trace 에 직접 나오지 않습니다).