5.1 변액보험 최저보증 — 결정론 측정 (GMDB / GMAB)#

이 챕터에서 배우는 것

  • 변액보험이 보장형 (GMM) 과 다른 측정 모델 (VFA) 로 평가되는 이유 — 계좌가치가 굴러가고 보험사는 수수료를 번다

  • account_value + 최저보증 (minimum_death_benefit / minimum_accumulation_benefit) 을 모델 포인트에 설정하는 자리

  • vfa.measure 의 결정론 측정 — 보증의 intrinsic value (중앙 시나리오 비용) 가 CSM 을 얼마나 갉아먹는가

  • 보증을 켜고 끄는 차이로 GMDB / GMAB 의 비용을 각각 분리하는 법

  • 결정론 측정의 TVOG = 0 — 보증의 시간가치 는 여기 안 보이고, 다음 챕터 5.2 시간가치 에서 시나리오로 드러난다

지금까지의 보장형 (GMM) 상품은 위험률 x 보험금으로 청구를 계산했습니다. 변액보험은 다릅니다 — 계약자의 계좌가치가 펀드 수익률로 굴러가고, 사망 / 해지 / 만기에 그 계좌가치를 (또는 최저보증을) 지급합니다. 보험사의 이익은 계좌에서 떼는 수수료입니다. IFRS 17 은 이런 직접참가 계약을 VFA (Variable Fee Approach, 변동수수료접근법) 로 측정합니다 — vfa.measure.

상품 소개 — 변액보험과 최저보증#

변액보험 (variable insurance) 은 보험료가 펀드에 투자되어 계좌가치 (account value) 가 시장 수익률로 변동합니다. 계약자가 투자위험을 지는 대신, 보험사는 최저보증 을 얹어 팝니다:

  • GMDB (Guaranteed Minimum Death Benefit, 최저사망보증) — 사망 시 max(계좌가치, 보증액) 지급. 계좌가 보증액 아래로 떨어져도 사망보험금은 보증액 이상.

  • GMAB (Guaranteed Minimum Accumulation Benefit, 최저적립보증) — 만기 생존 시 max(계좌가치, 보증액) 지급.

보증액을 넘는 초과분 (보증액 - 계좌가치, 양수일 때) 이 보험사가 부담하는 보증비용입니다. 계좌가 보증을 웃돌면 초과분은 0 — 보증은 계좌가치에 대한 풋옵션 처럼 하락에만 비용이 발생합니다.

모델링 매핑 — VFA#

자리

무엇

vfa.measure(mp, basis)

VFA 측정 (보장형의 measure (GMM) 가 아님)

ModelPoints.account_value

가입 시 계좌가치

ModelPoints.minimum_death_benefit

GMDB 보증액. 기본 0 = 보증 없음 (max(AV, 0) = AV)

ModelPoints.minimum_accumulation_benefit

GMAB 보증액. 기본 0 = 보증 없음

Basis.investment_return

기초자산(펀드) 수익률 — VFA의 할인·적립 basis

Basis.fund_fee

보험사가 떼는 변동수수료 (= 이익원)

Basis.expense_cv

위험조정 (변액의 비금융위험 = 사업비위험) 의 변동계수

핵심: 사망·만기 exit 은 max(계좌가치, 보증), 해지 exit 은 계좌가치 그대로. 보험사의 이익 = 수수료 현재가치 = 가입 시 CSM. 보증비용이 그 마진을 갉아먹습니다.

이 챕터는 GMDB / GMAB 만 — 적립이율 보증은 별개

모델포인트에는 적립이율 보증 (minimum_crediting_rate, 계좌 크레딧 floor) 자리도 있지만, 이 챕터와 5.2 시간가치 챕터는 둘 다 그 자리를 비워둡니다 (보증 없음). 적립이율 보증은 계좌가치 자체 를 매월 떠받치는 다른 종류의 보증이고, GMDB / GMAB 의 사망·만기 floor 와 비용 구조가 다릅니다. 입력으로 “보증 없음” 을 표현하는 법은 아래 변형 절의 “보증 없음은 어떻게 표현하나” 에서 세 보증을 한꺼번에 정리합니다.

한 계약 — 결정론 측정#

계약 하나로 보증의 intrinsic value (중앙 시나리오에서 floor 가 작동하는 비용) 가 CSM 에 들어가는 모습을 봅니다.

예제 설정

  • 가입연령 40세, 보험기간 10년 (120개월), 일시납 변액계약

  • 계좌가치 1억, GMDB 1.02억 (102%), GMAB 1.05억 (105%)

  • 펀드 연 수익률 3%, 변동수수료 연 2.5% (순성장 +0.5%/년), 사망 0.5% / 해지 4%

수익률 3% 에서 수수료 2.5% 를 빼면 계좌는 연 0.5% 로 거의 평탄하게 굴러가, 102% / 105% 보증이 실제로 작동하는 구간을 만듭니다. 6% 처럼 빠른 성장 가정이면 계좌가 보증을 금세 넘어 floor 가 거의 작동하지 않고, intrinsic 은 0 에 가깝게 보입니다.

import numpy as np
import fastcashflow as fcf

# 산출기초
death_rate = 0.005  # 연 0.5% 사망률
lapse_rate = 0.04   # 연 4% 해지율
basis = fcf.Basis(
    mortality_annual  = death_rate,  # 보유계약 사망률 (in-force 감쇠)
    lapse_annual      = lapse_rate,  # 해지율
    discount_annual   = 0.03,        # 연 할인율 (비보증 현금흐름)
    ra_confidence     = 0.95,        # 위험조정 신뢰수준 95%
    mortality_cv      = 0.10,        # 사망률 변동계수
    expense_cv        = 0.10,        # 사업비 변동계수 (VFA의 RA = 사업비위험)
    investment_return = 0.03,        # 기초자산(펀드) 연 수익률 3%
    fund_fee          = 0.025,       # 변동수수료 연 2.5% (= 보험사 이익원)
)

# 변액계약 하나 (계좌 1억, GMDB 1.02억, GMAB 1.05억)
mp = fcf.ModelPoints.single(
    issue_age                    = 40,      # 가입연령
    premium                      = 0.0,     # 일시납 (계좌가치로 납입)
    term_months                  = 120,     # 보험기간 10년
    account_value                = 1.0e8,   # 가입 시 계좌가치
    minimum_death_benefit        = 1.02e8,  # GMDB 최저사망보증 (102%)
    minimum_accumulation_benefit = 1.05e8,  # GMAB 최저적립보증 (105%)
)

det = fcf.vfa.measure(mp, basis)                # 결정론 측정 (intrinsic 만)
print(f"BEL  = {det.bel[0]:>14,.0f}")           # 계좌가치 차감 순부채
print(f"fee  = {det.variable_fee[0]:>14,.0f}")  # 수수료 현재가치 (이익원)
print(f"CSM  = {det.csm[0]:>14,.0f}")           # 미실현 수수료 - 보증비용
print(f"TVOG = {det.time_value[0]:>14,.0f}")    # 시간가치 (시나리오 없으면 0)

출력:

BEL  =    -17,664,772
fee  =     17,737,198
CSM  =     17,664,772
TVOG =              0

결정론 측정은 보증의 intrinsic value — 중앙 시나리오에서 floor 가 작동하는 비용 — 만 봅니다. 계좌 궤적을 펼치면 어디서 작동하는지 보입니다:

av = det.account_value_path[0]                  # 계좌가치 궤적 (월말, 121개)
print("month       account    GMDB    GMAB")
for m in (0, 24, 48, 60, 72, 96, 120):
    gmdb = "작동" if av[m] < 1.02e8 else " - "
    gmab = "작동" if av[m] < 1.05e8 else " - "
    print(f"{m:5d}  {av[m]:>14,.0f}   {gmdb}    {gmab}")

출력:

month       account    GMDB    GMAB
    0     100,000,000   작동    작동
   24     100,967,707   작동    작동
   48     101,944,779   작동    작동
   60     102,436,855    -     작동
   72     102,931,306    -     작동
   96     103,927,380    -     작동
  120     104,933,092    -     작동

계좌는 연 0.5% 로 100,000,000 → 104,933,092 로 굴러갑니다.

  • GMDB (102%) 는 계좌가 102,000,000 을 넘는 5년차 (month 60) 전까지만 무립니다. 그 구간의 사망자에게만 보증 top-up 이 나갑니다.

  • GMAB (105%) 는 만기 계좌 104,933,092 가 105,000,000 에 못 미쳐 만기까지 내내 ITM (in-the-money, 보증액이 계좌가치보다 높은 상태) — 만기 생존자 전원에게 보증 top-up 이 나갑니다.

결과 읽기 — 보증비용을 GMDB / GMAB 로 분리#

VFA 측정의 한 줄 요약: 보험사는 수수료를 벌고, 보증비용이 그 마진을 줄인다.

  • BEL 은 계좌가치를 차감한 순액입니다. 보험사가 들고 있는 계좌는 계약자 몫 (부채) 이자 운용 자산이라, 그 둘이 상쇄되고 남는 게 BEL.

  • CSM = 미실현 수수료 - 보증비용. 위에서 수수료 17,737,198 이 보증 비용을 흡수하고도 17,664,772 남았습니다.

보증비용 (intrinsic) 이 정확히 얼마인지는 보증을 끄고 다시 재보면 분리됩니다 — 보증을 켜서 CSM 이 떨어진 만큼이 그 보증의 비용입니다:

def csm_with(gmdb, gmab):
    m = fcf.ModelPoints.single(
        issue_age=40,                       # 가입연령
        premium=0.0,                        # 거치형 -- 보험료 유입 없음
        term_months=120,                    # 10년
        account_value=1.0e8,                # 기초 계좌가치
        minimum_death_benefit=gmdb,         # GMDB 사망보증
        minimum_accumulation_benefit=gmab,  # GMAB 만기보증
    )
    return fcf.vfa.measure(m, basis).csm[0]

csm_off  = csm_with(0.0,    0.0)     # 두 보증 모두 끄기
csm_gmdb = csm_with(1.02e8, 0.0)     # GMDB 만
csm_gmab = csm_with(0.0,    1.05e8)  # GMAB 만
csm_both = csm_with(1.02e8, 1.05e8)  # 둘 다

print(f"no-guarantee CSM = {csm_off:>14,.0f}")
print(f"GMDB intrinsic   = {csm_off - csm_gmdb:>14,.0f}")
print(f"GMAB intrinsic   = {csm_off - csm_gmab:>14,.0f}")
print(f"both intrinsic   = {csm_off - csm_both:>14,.0f}")

출력:

no-guarantee CSM =     17,715,366
GMDB intrinsic   =         19,113
GMAB intrinsic   =         31,481
both intrinsic   =         50,594

GMDB 19,113 + GMAB 31,481 = 50,594 — 두 보증비용이 정확히 합산됩니다. 이 계약에서 보증의 결정론 비용은 50,594 뿐 — 수수료 17,737,198 에 견주면 0.3% 입니다.

fee - CSM 은 72,426 인데 보증비용은 왜 50,594 인가

위 출력의 수수료 17,737,198 에서 CSM 17,664,772 을 빼면 72,426 이지만, 보증을 켜고 끄는 차분으로 분리한 보증비용은 50,594 입니다. 차이 21,832 는 보증과 무관한 수수료 타이밍 효과 입니다 — 변동수수료는 월말 생존자에게만 부과되는데, 월중 사망·해지자는 그 달 수수료가 빠지기 전 계좌가치를 받아, 걷지 못한 수수료 만큼이 마진에서 샙니다. 이 효과는 보증을 켜든 끄든 똑같이 있어 차분에서 상쇄되므로, 순수 보증비용은 50,594 입니다. 보증비용을 측정할 때는 raw fee - CSM 이 아니라 floor 를 켜고 끈 차분 을 봐야 합니다.

GMAB intrinsic 31,481 을 손으로 확인

GMAB 는 만기 (month 120) 생존자에게 max(계좌, 105,000,000) 을 지급합니다.

  • 만기 계좌 = 104,933,092 → 보증 top-up = 105,000,000 - 104,933,092 = 66,908 (계약당)

  • 만기 생존율 = (1 - 0.005 - 0.04)^10 ~ 0.632 (연 사망 0.5% + 해지 4% 감쇠)

  • 10년 할인 = 1.03^-10 = 0.744

66,908 x 0.632 x 0.744 ~ 31,460 ~ 엔진의 31,481. GMDB 는 처음 5년 사망자에게만, 그것도 점점 줄어드는 top-up 으로 작동하니 훨씬 작은 19,113.

결정론만 보고 “보증이 싸다” 판단하면 안 됩니다

위 50,594 는 중앙 시나리오 하나 에서의 비용입니다. 펀드 수익률이 변동하면 일부 경로에서 계좌가 보증액 아래로 더 깊이 떨어지고, 그 풋옵션 비용의 기대값 — 시간가치 (TVOG) — 은 단일 결정론 측정에 원리상 보이지 않습니다 (TVOG = 0). 같은 계약의 시간가치는 5.2 에서 시나리오로 측정하며, intrinsic 50,594 의 120배가 넘습니다.

변형#

per-MP 보증액#

minimum_death_benefit / minimum_accumulation_benefit 는 계약마다 달라도 됩니다 — max(AV, 보증) 의 floor 는 per-MP 로 계산됩니다. 포트폴리오를 numpy 배열로 직접 만들면 계약별로 다른 보증액을 한 번에 평가합니다.

보증 없음은 어떻게 표현하나 — 세 보증 공통 원리#

GMDB · GMAB · 적립이율 보증은 전부 같은 모양입니다 — 바닥(floor):

GMDB     :  사망보험금 = max(계좌가치, minimum_death_benefit)
GMAB     :  만기보험금 = max(계좌가치, minimum_accumulation_benefit)
적립이율 :  적립율     = max(수익률,   minimum_crediting_rate)

그래서 “보증 없음” = “절대 작동하지 않는 바닥” 이라는 원리도 셋이 같습니다. 다만 그 바닥이 0일 때 정말 작동 안 하느냐 가 금액 보증과 율 보증에서 갈립니다.

  • GMDB / GMAB (금액 바닥) — 계좌가치는 항상 0 이상이라 max(계좌가치, 0) = 계좌가치. 즉 0이 자연스럽게 “작동하지 않는 바닥” 이라 0 = 보증 없음. “보험금이 0 이상” 을 보장하는 상품은 없으니, 0을 “끔” 으로 써도 잃는 표현이 없습니다.

  • 적립이율 (율 바닥) — 수익률은 음수가 될 수 있어 max(수익률, 0) != 수익률. 즉 0이 진짜 0% 바닥 (마이너스 달에 계좌를 떠받치는 실제 상품) 이라, 0을 “끔” 으로 쓸 수 없습니다. 그래서 “보증 없음” 은 0 이 아닌 별도 값으로 표시합니다.

입력은 이렇게 합니다:

보증

보증 없음

실제 보증

GMDB / GMAB (금액)

0 또는 미설정

보증액 (예: 1.1e8)

적립이율 (율)

미설정 / 빈칸

0.0 = 0% 바닥, 또는 양수 (예: 0.0075)

  • CSV — 적립이율 칸을 빈칸 으로 두면 보증 없음. 0% / 양수 바닥은 숫자로 명시.

  • ModelPoints.single(...) — minimum_crediting_rate 인자를 생략 하면 보증 없음 (이 챕터의 예제가 그렇습니다).

  • 배열로 직접 (혼합북) — 일부는 보증, 일부는 무보증인 포트폴리오를 numpy 배열로 만들 때만, 무보증 행에 이름값 fcf.NO_GUARANTEE_RATE 를 넣습니다:

minimum_crediting_rate = [fcf.NO_GUARANTEE_RATE,  0.0,    0.0075]
#                          보증 없음              0% 바닥  0.75% 바닥

일상 입력에서 이 값을 숫자로 직접 쓸 일은 없습니다 — 빈칸이나 인자 생략이면 충분합니다.

왜 0 이 아닌 별도 값인가 — 속도 때문

엔진은 모든 모델포인트를 한 배열 식 max(값, 바닥) 으로 동시에 계산합니다 (행마다 식을 바꾸면 루프가 되어 느려짐). 그래서 “이 행은 보증 없음” 을 식에서 빼는 대신, 절대 작동하지 않는 바닥 (사실상 음의 무한대) 을 깔아 max 를 무력화합니다. 음의 무한대는 배열에 저장할 수 없으니, 그것을 가리키는 안전한 유한 표지값 fcf.NO_GUARANTEE_RATE 를 둔 것입니다. 금액 보증은 0 자체가 이미 “작동하지 않는 바닥” 이라 이런 표지값이 필요 없었습니다.

함정#

함정 1 — measure 가 아니라 vfa.measure#

변액은 보장형의 measure (GMM) 가 아니라 vfa.measure (VFA) 로 측정합니다. GMM으로 돌리면 계좌가치 mechanic 이 없어 결과가 틀립니다.

함정 2 — 보증액 기본 0#

minimum_death_benefit / minimum_accumulation_benefit 를 안 주면 0 입니다 (max(AV, 0) = AV = 보증 없음). 보증을 평가하려면 보증액을 명시적으로 줘야 합니다.

함정 3 — 결정론 intrinsic 을 보증의 전체 비용으로 착각#

결정론 측정의 intrinsic (여기선 50,594) 은 보증비용의 일부 — 중앙 시나리오 몫 — 일 뿐입니다. 보증의 진짜 비용은 여기에 시간가치 (TVOG) 를 더한 것이고, 시간가치는 시나리오를 넣어야 드러납니다 (5.2).

인접 레시피#

  • 5.2 변액보험 최저보증의 시간가치 (TVOG) — 같은 계약에 return_scenarios 를 넣어 보증의 시간가치를 측정. 결정론 intrinsic 50,594 대 시간가치 6백만의 분해.

  • 2.1 정기보험 — 보장형 (GMM) 측정의 출발점. 변액은 같은 in-force 감쇠 위에 계좌가치·수수료·보증을 얹은 다른 측정 모델.

  • vfa.trace(mp_index, mp, basis) — 이 계약의 계좌가치 궤적, GMDB / GMAB floor 가 작동하는 자리, BEL / CSM 계산 경로를 트리로 확인 (GMM의 gmm.trace 에 대응하는 VFA 버전). 보장형 계약의 gmm.trace 는 검증 패턴 챕터.