3.2 paid-up 분리 (3-state)#

이 챕터에서 배우는 것

완납 (paid-up) 를 active / waiver 와 별도 상태 로 두는 이유 — 유일한 실무 동기는 납입후 해지율이 납입중과 달라지는 것
그 방향은 상품에 따라 갈린다 — 보장성 (환급금 없음) 은 완납 후 해지율이 낮아지고, 저축성·고환급 은 완납 시점에 해약이 spike
3-state 모델 STATE_MODELS["WAIVER_PAIDUP"] 의 연결과 lapse_paidup_annual 자리
paidup 상태는 전이로 들어가지 않는다 — model point 를 paidup 으로 자리 지정 (seating) 하는, 즉 “이미 완납된 보유계약을 결산 시점에 평가” 하는 시나리오
환급금이 없을 때 해지율이 낮을수록 runoff 가 느려 BEL이 커지는 메커니즘

3.1 납입면제 의 2-state 모델은 active / waiver 만 다뤘습니다. 이 챕터는 완납 (paid-up) 를 세 번째 상태로 추가합니다 — 보험료 납입이 끝난 계약을 별도로 추적하는 자리입니다.

상품 소개 — 완납 상태#

한국 상품은 대개 납입기간 (예: 20년납) 이 보험기간 (예: 종신) 보다 짧습니다. 납입기간이 끝나면 계약은 보험료를 더 내지 않으면서 보장은 그대로 유지하는 완납 (paid-up) 상태가 됩니다.

완납을 별도 상태로 나누는 유일한 실무 이유는 해지율이 납입중과 달라지기 때문 입니다. 납입중과 납입후에 같은 해지율을 쓴다면 굳이 상태를 나눌 이유가 없습니다 — 나누는 의미는 두 상태에 서로 다른 해지율 을 거는 데 있습니다.

그 방향은 상품에 따라 갈립니다:

보장성 (환급금 없음) — 완납 후 해지율이 낮아집니다. 보험료 부담이 사라지고 보장이 사실상 “공짜” 로 유지되니 나갈 유인이 거의 없고, 납입을 끝까지 버틴 계약자라는 self-selection (완납까지 유지한 집단은 애초에 잘 안 나감) 효과도 같은 방향입니다.
저축성·고환급 — 완납 시점 에 해약이 spike 합니다. 환급률이 정점에 닿아 적립된 가치를 빼서 나가는 cash-out 행동. 완납 직후 한 번 튀고 이후 안정되는 형태라, 평탄 상수가 아니라 경과 의존이 자연스럽습니다.

이 챕터의 예제는 보장성 (사망보험금만, 환급금 없음) 이라 완납 후 해지율이 낮아지는 쪽을 씁니다. 저축성 spike 의 연결은 아래 변형 절에서 다룹니다.

엔진 관점에서 한 계약은 세 상태 중 하나에 있습니다:

active — 정상 납입 중. 사망 / 해지 / 납입면제 진입 에 노출.
waiver — 납입면제 상태 (3.1 참조).
paidup — 완납. 보험료를 안 내고 보장은 계속. 사망 과 납입후 해지로 빠져나감 — 이 해지율이 active 와 다르다는 게 핵심.

완납을 엔진에서 다루는 길은 측정 대상이 신계약이냐 보유계약이냐 에 따라 갈립니다. 이 구분이 paid-up 모델을 이해하는 핵심입니다.

측정 대상	납입후 해지율을 다루는 법	paidup 상태
신계약 (가입 시점부터 측정)	`lapse_annual` 을 가입경과 (policy duration) 의 단계함수로 — 납입기간 동안과 이후에 다른 값. 보험료 중단은 `premium_term_months` 가 처리.	불필요 (active 한 상태로 끝)
보유계약 (이미 완납된 납입후 코호트의 결산)	`state = STATE_PAIDUP` 으로 자리 지정 해 잔여 기간만 평가	필요 — 이 챕터의 예제

왜 신계약은 paidup 상태로 “전이” 하지 않나

엔진의 상태 전이는 모두 확률적 (rate-driven) 입니다 — “몇 월이 되면 무조건 active → paidup” 같은 시점 트리거 전이 (특정 시점에 확률이 아니라 결정론적으로 일어나는 전이) 가 없습니다. 그래서 active 로 시작한 신계약을 term_months 만큼 굴려도 자동으로 paidup 으로 넘어가지 않고, 끝까지 active 상태에 남아 lapse_annual 을 계속 씁니다 (보험료만 premium_term_months 로 멈춤). 따라서:

신계약 에서 납입후 해지율 하락을 반영하려면 lapse_annual 자체를 가입경과 의존 단계함수로 줍니다 (아래 변형 참조). paidup 상태가 필요 없습니다.
paidup 상태 + 자리 지정 은 이미 완납된 보유계약 을 결산일에 평가할 때의 도구입니다 — 지나간 납입기간을 다시 굴리지 않고 잔여 구간만 납입후 해지율로 봅니다. 이 챕터의 예제가 이 경우입니다. (보유계약 평가의 입력 구조는 튜토리얼 11장 참조.)

두 경로는 서로 다른 측정 모드 라 바꿔 쓸 수 없습니다 — 신계약 CSM을 paidup 자리 지정으로 구하면 납입기간을 건너뛴 꼬리만 평가돼 틀립니다.

모델링 매핑 — 3-state#

자리	무엇
`Basis.state_model`	`STATE_MODELS["WAIVER_PAIDUP"]` — active / waiver / paidup 3-state 모델
`Basis.lapse_annual`	active 상태의 해지율 (납입중)
`Basis.lapse_paidup_annual`	paidup 상태의 해지율 (납입후). 지정 안 하면 `lapse_annual` 로 fallback
`Basis.waiver_incidence_annual`	active → waiver 연 전이율
`ModelPoints.state`	각 계약의 시작 상태. 완납 보유계약은 `STATE_PAIDUP` 으로 자리 지정

핵심은 해지율이 상태별로 갈린다 는 점입니다. lapse_annual 은 active 에만, lapse_paidup_annual 은 paidup 에만 적용됩니다. 사망률은 세 상태 공통입니다.

한 계약 — 손계산과 엔진#

납입후 해지율의 효과를 또렷이 보려고, 완납된 보장성 계약 을 평가합니다 (보험료 = 0, 사망보험금만, 환급금 없음). 여기서는 두 번 측정합니다 — 한 번은 완납 상태의 납입후 해지율 (월 2%) 로, 한 번은 같은 계약을 납입중 해지율 (월 10%) 로 — 둘의 유일한 차이는 해지율이라 격차가 전부 해지율에서 옵니다. 보장성이라 완납 후 해지율 (2%) 이 납입중 (10%) 보다 낮습니다.

예제 설정

가입연령 40세, 보험기간 3개월, 완납된 보유계약 으로 평가
월 사망률 1%, 사망보험금 100,000, 보험료 0 (이미 완납), 환급금 없음
납입후 해지 월 2% vs 납입중 해지 월 10% (보장성 → 완납 후 낮아짐)
월 할인율 0 (상태/해지 동학에 집중)

import numpy as np
import fastcashflow as fcf
from fastcashflow import STATE_MODELS, STATE_PAIDUP, STATE_ACTIVE

# rate 함수 -- 모든 rate 는 (sex, issue_age, duration) 시그니처
death_fn        = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.01) ** 12)  # 사망률 월 1%
lapse_fn        = lambda s, a, d: np.full(d.shape, 1 - (1 - 0.10) ** 12)  # 납입중 해지 월 10%
lapse_paidup_fn = lambda s, a, d: np.full(d.shape, 1 - (1 - 0.02) ** 12)  # 납입후 해지 월 2%
waiver_fn       = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 0.0)                   # 납입면제 없음

# 산출기초
basis = fcf.Basis(
    mortality_annual        = death_fn,                       # 보유계약 감쇠용 사망률 (월 1%)
    lapse_annual            = lapse_fn,                       # active 해지율 (납입중 월 10%)
    lapse_paidup_annual     = lapse_paidup_fn,                # paidup 해지율 (납입후 월 2%)
    waiver_incidence_annual = waiver_fn,                      # active → waiver 전이율 (없음)
    discount_annual         = 0.0,                            # 연 할인율 0 (검증 단순화)
    ra_confidence           = 0.75,                           # 위험조정 신뢰수준 75%
    mortality_cv            = 0.10,                           # 사망률 변동계수 10%
    state_model             = STATE_MODELS["WAIVER_PAIDUP"],  # 3-state
    coverages               = (
        fcf.CoverageRate("DEATH", death_fn),     # 사망 보장 1종 (청구 rate = death_fn)
    ),
)

# 같은 계약을 시작 상태만 바꿔 두 번 평가
def measure_in(state):
    mp = fcf.ModelPoints.single(
        issue_age           = 40,            # 가입연령 40세
        sex                 = 0,             # 성별 (0=남, 1=여)
        benefits            = {0: 100_000},  # 0번 보장 (= DEATH) 의 보험금 100,000
        premium             = 0,             # 보험료 0 (이미 완납)
        term_months         = 3,             # 잔여 보험기간 3개월
        state               = state,         # 시작 상태 (자리 지정)
        calculation_methods = {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
    )
    return fcf.gmm.measure(mp, basis)

m_paidup = measure_in(STATE_PAIDUP)  # 완납 (해지 월 2%)
m_active = measure_in(STATE_ACTIVE)  # 납입중 (해지 월 10%) -- 대조용

print(f"paidup inforce  = {m_paidup.cashflows.inforce[0, :3]}")   # 보유계약 (해지 2%)
print(f"paidup claim_cf = {m_paidup.cashflows.claim_cf[0, :3]}")  # 사망보험금
print(f"paidup BEL      = {m_paidup.bel[0]:.2f}")                 # 최선추정부채
print(f"active inforce  = {m_active.cashflows.inforce[0, :3]}")   # 보유계약 (해지 10%)
print(f"active BEL      = {m_active.bel[0]:.2f}")                 # 대조용 BEL

출력:

paidup inforce  = [1.         0.9702     0.94128804]
paidup claim_cf = [1000.       970.2      941.28804]
paidup BEL      = 2911.49
active inforce  = [1.       0.891    0.793881]
active BEL      = 2684.88

손계산으로 두 상태의 보유계약을 따라갑니다. 두 경우 모두 매월 사망 (1%) 과 해지로 빠지지만, 해지율이 다릅니다:

t	paidup inforce (사망1% × 해지2%)	paidup 사망보험금	active inforce (사망1% × 해지10%)	active 사망보험금
0	1.000000	1,000.00	1.000000	1,000.00
1	0.970200	970.20	0.891000	891.00
2	0.941288	941.29	0.793881	793.88

paidup inforce[t] = (0.99 × 0.98)^t — 사망 0.99 와 납입후 해지 0.98
active inforce[t] = (0.99 × 0.90)^t — 사망 0.99 와 납입중 해지 0.90
보험료가 0 이므로 BEL = PV(사망보험금):
- paidup BEL = 1,000 + 970.2 + 941.29 = 2,911.49
- active BEL = 1,000 + 891 + 793.88 = 2,684.88

완납 후 해지율 (2%) 이 납입중 (10%) 보다 낮아 보유계약이 더 천천히 소멸하고, 그만큼 미래 사망보험금이 더 남아 BEL이 커집니다 (2,911.49 > 2,684.88).

보장성과 저축성에서 해지의 방향이 반대

이 예제 (보장성) 는 해지 시 지급액 (해약환급금) 이 없습니다. 그래서 해지는 순수하게 부채를 방출 하기만 해 해지율이 낮을수록 runoff 가 느려져 BEL이 커집니다 — 위에서 완납 BEL이 더 큰 이유입니다. 저축성·고환급 상품은 방향이 반대 입니다: 완납 시점에 해약환급금이 정점이라 해지가 환급금 유출을 일으켜 BEL을 키우고, 해지율 자체도 완납 시점에 spike 합니다. 이때는 해약환급금 (surrender value) 을 함께 넣어야 BEL 방향이 맞습니다.

결과 읽기 — 해지율이 갈리는 자리#

3-state paid-up 모델의 한 줄 요약: lapse_paidup_annual 이 paidup 점유에만 작동해 납입후 runoff 속도를 바꾼다.

위 두 측정의 유일한 차이는 시작 상태입니다. 같은 사망률 · 같은 보험금 · 같은 보험료 (0) 인데도 BEL이 226.61 만큼 다른 것은 전적으로 해지율 (2% vs 10%) 때문입니다.
(보장성에서) 납입후 해지율을 낮출수록 paidup 보유계약이 천천히 빠져 BEL이 커집니다 (환급금 없을 때).
lapse_paidup_annual 을 생략 하면 paidup 도 lapse_annual 을 써서 active 와 같은 runoff 가 됩니다 — 그러면 paidup 을 별도 상태로 둔 의미가 사라집니다.

상태 점유는 trajectory 에 직접 노출되지 않음

3.1 과 마찬가지로 Measurement.cashflows.inforce 는 세 상태의 합입니다. 위 예제는 보험료가 0 이고 시작 상태가 paidup 뿐이라 inforce 가 곧 paidup 점유와 같지만, 일반적으로 상태별 점유가 필요하면 검증 패턴 의 gmm.trace 로 확인합니다.

변형 — 해지율 축과 워크북 연결#

신계약 — duration-step lapse 로 납입후 하락 표현#

본문 예제는 이미 완납된 보유계약 을 자리 지정으로 평가했습니다. 신계약을 가입 시점부터 측정하면서 완납 시점의 해지율 하락을 반영하려면, paidup 상태가 아니라 lapse_annual 을 가입경과 (policy duration) 의 단계함수로 줍니다 — 납입기간 동안 한 값, 납입후 다른 값. 보험료 중단은 premium_term_months 가 처리하므로 active 한 상태로 한 번에 투영합니다.

import numpy as np
import fastcashflow as fcf

# rate 함수 -- 해지율을 가입경과 (policy duration, 연 단위) 의 단계함수로
death_fn = lambda s, a, d: np.full(a.shape, 1 - (1 - 0.01) ** 12)  # 사망률 월 1%
lapse_fn = lambda s, a, d: np.where(                               # 완납 시점에 해지율 하락
    d < 1,
    1 - (1 - 0.30) ** 12,   # 납입중 (가입 1년 이내) 월 30%
    1 - (1 - 0.02) ** 12,   # 납입후 (1년 이후)      월 2%
)

# 산출기초
basis = fcf.Basis(
    mortality_annual = death_fn,   # 보유계약 감쇠용 사망률 (월 1%)
    lapse_annual     = lapse_fn,   # 해지율 (납입중 30% → 납입후 2%)
    discount_annual  = 0.0,        # 연 할인율 0
    ra_confidence    = 0.75,       # 위험조정 신뢰수준 75%
    mortality_cv     = 0.10,       # 사망률 변동계수 10%
    coverages        = (
        fcf.CoverageRate("DEATH", death_fn),  # 사망 보장 1종
    ),
)

# 모델 포인트
mp = fcf.ModelPoints.single(
    issue_age           = 40,            # 가입연령 40세
    sex                 = 0,             # 성별 (0=남, 1=여)
    benefits            = {0: 100_000},  # 사망보험금 100,000
    premium             = 1_000,         # 월납 보험료 1,000
    term_months         = 24,            # 보험기간 2년
    premium_term_months = 12,            # 납입기간 1년 (이후 완납)
    calculation_methods = {"DEATH": fcf.CalculationMethod.DEATH},
)

m   = fcf.gmm.measure(mp, basis)
ifc = m.cashflows.inforce[0]
pcf = m.cashflows.premium_cf[0]
print(f"premium month 11 / 12        = {pcf[11]:.4f} / {pcf[12]:.4f}")  # 보험료 중단
print(f"inforce ratio m11/m10 (납입중) = {ifc[11] / ifc[10]:.4f}")      # 해지 30%
print(f"inforce ratio m13/m12 (납입후) = {ifc[13] / ifc[12]:.4f}")      # 해지 2%

출력:

premium month 11 / 12        = 17.7038 / 0.0000
inforce ratio m11/m10 (납입중) = 0.6930
inforce ratio m13/m12 (납입후) = 0.9702

납입기간이 끝나는 12개월째에 보험료가 0 으로 멈추고 (premium_term_months), 같은 시점에 해지율이 떨어집니다:

납입중 (가입 1년 이내): 월 생존비 0.6930 = 사망 0.99 × 해지 0.70 (해지 30%)
납입후 (1년 이후): 월 생존비 0.9702 = 사망 0.99 × 해지 0.98 (해지 2%)

상태를 나누지 않고 lapse_annual 한 함수로 납입후 하락을 표현했습니다. 신계약 측정에서는 이 길이 가장 단순합니다 — paidup 을 별도 상태로 두는 것은 보유계약 결산처럼 시작부터 완납 상태인 계약을 평가할 때입니다.

단계는 연 경계에서만

lapse_annual 의 duration 인자는 연 단위 가입경과 입니다 (엔진이 해지율을 가입연도별 격자로 평가). 따라서 단계함수의 전환점도 연 경계에만 놓입니다 — 납입기간이 12 / 24 / 36개월 처럼 정수 연이면 정확히 맞고, 18개월 처럼 연 중간이면 그 해 평균으로 흡수됩니다. 월 단위 정밀도가 필요하면 별도 확장이 필요합니다.

완납 후 해지율의 현실적 수준#

본문 예제의 “월 2%” 는 손계산 대비를 또렷이 하려는 과장값 입니다. 실제 장기 보장성 · 무·저해지 상품의 완납 후 해지율은 그보다 훨씬 낮습니다. 금융위원회가 제4차 보험개혁회의에서 마련한 IFRS 17 주요 계리가정 가이드라인 (2024년 말 결산부터 적용) 은 무·저해지보험 해지율에 다음을 제시합니다:

원칙모형 = 로그-선형 모형 — 납입 완료 시점에 가까워질수록 해지율이 0% 로 수렴 (실무 수렴점 약 0.1%). “저해지상품은 납입 중 해지 시 환급금이 없거나 적은 특성상 실제 해지율이 낮을 것으로 예상” 한다는 논리입니다.
종국해약률 — 경험통계가 부족하면 해외 통계 기준 0.8% 를 준용하며, 무·저해지는 표준형 상품보다 낮게 적용합니다.

(출처: 금융위원회 보도자료 “IFRS17 계리적 가정 가이드라인 마련”.)

장기 건강보험에서 완납 후 해지율이 특히 낮은 이유

20년납·가입 40세·60세 완납 같은 장기 건강보험에서는, 완납 시점의 가입자가 보험료 부담이 0 인데 연령 상승으로 암·수술·입원 발생률은 오히려 올라갑니다. 보장을 계속 유지할 유인이 강해 해지 유인이 작습니다. 가이드라인이 무·저해지 해지율을 표준형보다 낮게, 완납 시점에 0% 로 수렴시키는 것도 같은 방향입니다. 보장성의 완납 후 해지율은 방향뿐 아니라 절대 수준도 낮게 잡는 게 일반적입니다.

완납 이벤트를 regime 으로 쪼개기#

장기 건강보험의 해지 가정을 제대로 만들 때 중요한 것은 단일 “완납 후 해지율” 한 숫자보다, 완납 이벤트 전후를 별도 regime 으로 보는 것입니다:

regime	성격
완납 직전	마지막 납입을 앞두고 끝까지 유지하려는 구간. 해지율이 이미 낮아짐
완납 시점	이벤트가 발생하는 해. 상품에 따라 spike (저축성) 또는 급락 (보장성)
완납 후 1~3년	이벤트 직후의 과도 구간. 경험이 가장 불확실
완납 후 장기	안정된 종국 수준 (보장성은 해외 통계 기준 0.8% 또는 그 이하로 수렴)

엔진에서는 lapse_annual (납입중) 와 lapse_paidup_annual (완납) 의 두 자리에, 각각 duration 의존 표를 넣어 이 regime 을 근사합니다. 다만 완납 시점의 월 단위 spike 는 연 단위 표가 그 해 평균으로 흡수하므로, 그 정밀도가 필요하면 별도 확장이 필요합니다.

단기납 종신 — 반대 극단#

5년납·7년납 같은 단기납 종신은 완납 후 해지율이 낮아지는 보장성과 정반대입니다. 짧은 납입 후 높은 환급률에 도달하는 구조라 완납 시점에 해약이 급증 할 수 있습니다 (cash-out). 이런 상품은 lapse_paidup_annual 에 완납 직후 duration 에서 높은 값을 넣고, 해약환급금 (surrender value) 을 반드시 함께 모델링 해야 BEL 방향이 맞습니다.

납입중 / 납입후를 segment 축으로 쪼개기#

상태 모델 대신 segment 키 (product, channel, 납입상태) 로 납입중 / 납입후를 나누는 길도 있습니다 — 그러면 보유계약을 두 묶음으로 분리해 각각 다른 해지율표로 평가합니다. 상태 모델은 한 계약 안에서 active ↔ waiver 의 동적 전이 까지 필요할 때, segment 분리는 납입후가 이미 확정된 정적 묶음일 때 더 단순합니다.

함정#

함정 1 — paidup 으로 전이가 일어나길 기대함#

STATE_MODELS["WAIVER_PAIDUP"] 에는 paidup 을 목적지로 삼는 전이가 없습니다. active 계약을 term_months 만큼 굴려도 자동으로 paidup 으로 넘어가지 않습니다. paidup 계약은 반드시 state = STATE_PAIDUP 으로 시작 상태를 자리 지정해야 합니다.

함정 2 — `lapse_paidup_annual` 을 빠뜨림#

이 필드를 생략하면 paidup 이 lapse_annual 로 fallback 해 active 와 같은 해지율을 씁니다. 동작은 정상이지만 paidup 을 별도 상태로 둔 효과가 사라집니다 (cash flow 가 active 와 동일). 납입중과 다른 납입후 해지율을 반영하려면 이 필드를 명시적으로 채워야 합니다.

함정 3 — 완납 계약에 보험료를 그대로 둠#

완납 계약은 보험료를 안 냅니다. premium 을 0 으로 두지 않으면 이미 완납된 계약에서 보험료 수입이 잡혀 BEL이 틀립니다. (paidup state 자체도 premium=False 라 보험료가 0 으로 계산되지만, 입력에서도 0 으로 두는 것이 의도를 드러냅니다.)

인접 레시피#

3.1 보험료 납입면제 (waiver) — 2-state 입문. 본 챕터의 직접 출발점.
1.3 사망률의 두 가지 역할 — decrement (사망 + 해지) 와 보장 청구의 분리.
2.1 정기보험 — 상태 전이 없는 정액형.
검증 패턴 — gmm.trace 로 상태별 점유와 cash flow 를 한 줄씩 확인.