5장. 최선추정부채(BEL) 계산#

이 장에서 배우는 것

할인: 미래의 금액을 현재가치로 바꾸는 법
월초 현금흐름과 월중 현금흐름을 다르게 할인하는 이유
BEL을 구하는 후방 재귀
손으로 직접 따라 계산하는 2개월 예제

4장에서 엔진은 각 계약의 미래 현금흐름을 여섯 갈래로, 월별로 모두 만들어 냈습니다. 하지만 그것은 미래의 여러 시점에 흩어져 있는 금액들입니다. 1.2절에서 본 측정 4단계 가운데 1단계 ‘추정’이 끝난 상태죠. 이 장은 2단계 ‘할인’을 적용해, 흩어진 현금흐름을 하나의 숫자 — 최선추정부채(BEL) — 로 모읍니다.

5.1 할인: 미래 현금흐름을 현재가치로#

미래의 100만 원과 오늘의 100만 원은 같은 가치가 아닙니다. 오늘 받으면 그동안 이자를 붙일 수 있으니, 미래의 돈은 오늘 기준으로는 그보다 작은 값이죠. 미래 금액을 오늘의 가치로 환산하는 것이 할인이고, 얼마나 줄일지를 정하는 비율이 할인율입니다(3.2절).

t개월 뒤에 받을 1원의 현재가치는 이렇게 줄어듭니다.

현재가치 = 미래 금액 × (1 + i)^-t

여기서 i는 월 할인율, (1 + i)^-t가 할인계수입니다. t가 클수록, 곧 받을 시점이 멀수록 할인계수는 작아지고 현재가치도 작아집니다.

4.2절에서 보험료는 월초에, 보험금은 월중에 발생한다고 했습니다. 이 시점 차이가 여기서 할인계수를 가릅니다.

월초 할인계수: 보험료처럼 달의 시작(t 시점)에 오가는 현금흐름에 적용합니다. (1 + i)^-t.
월중 할인계수: 보험금·사업비처럼 달 도중(t + 0.5 시점)에 오가는 현금흐름에 적용합니다. 반 달을 더 보내므로 (1 + i)^-(t + 0.5).

같은 t개월이라도 월중 현금흐름은 반 달만큼 더 할인됩니다.

5.2 BEL은 현재가치의 차액#

이제 BEL을 정의할 수 있습니다. 2장에서 BEL을 “앞으로 오갈 현금을 모두 추정해 오늘의 가치로 환산한 금액”이라 했죠. 더 정확히는 이렇습니다.

BEL = 유출의 현재가치 - 유입의 현재가치

4장의 여섯 갈래를 떠올려 보면, 유입은 보험료 하나뿐이고 나머지 다섯(보험금·건강 급부·사업비·연금·만기보험금)은 유출입니다. 각 현금흐름에 그 시점과 종류에 맞는 할인계수를 곱해 현재가치로 바꾼 뒤, 유출의 합에서 유입의 합을 빼면 BEL입니다.

부호 규약(3.5절)으로 말하면 유출이 양(+), 유입이 음(-)입니다. 그래서 유출이 유입보다 크면 BEL은 양수, 곧 갚아야 할 부채이고, 작으면 음수, 곧 이익이 예상되는 계약입니다.

이대로 계산해도 됩니다. 현금흐름마다 할인계수를 곱하고 전부 더하면 BEL이 나오죠. 그런데 엔진은 조금 다른, 더 쓸모 있는 방법을 씁니다.

5.3 후방 재귀#

4장의 보유계약 재귀는 0개월에서 출발해 앞으로 한 달씩 나아갔습니다. BEL은 반대 방향, 곧 보험기간의 끝에서 출발해 거꾸로 한 달씩 접어 옵니다. 이것이 후방 재귀입니다.

먼저 BEL에 시점을 붙입니다. BEL[t]는 t개월 시점에서 본, 그달부터 보험기간 끝까지 남은 현금흐름의 현재가치입니다. 우리가 원하는 최초 인식 시점의 BEL은 BEL[0]이죠.

한 달을 접는 규칙은 세 조각으로 이뤄집니다.

BEL[t] = 월초 현금흐름 + 월중 현금흐름 × (1 + i)^-0.5 + BEL[t+1] × (1 + i)^-1

월초 현금흐름: 그달 시작에 오가는 연금과 보험료. t개월 시점에 있으므로 추가 할인이 없습니다 (연금은 유출 +, 보험료는 유입 -).
월중 현금흐름: 그달 도중에 나가는 보험금과 사업비. 반 달 뒤이므로 (1 + i)^-0.5로 당겨 옵니다.
BEL[t+1]: 한 달 뒤 시점의 BEL. 한 달 뒤이므로 (1 + i)^-1로 당겨 옵니다.

출발점은 BEL[보험기간] = 만기보험금입니다. 만기보험금이 없으면 0이죠. 여기서부터 위 규칙을 0개월까지 되풀이하면 BEL[0]이 나옵니다.

왜 거꾸로 갈까요? 두 가지 이점이 있습니다.

첫째, BEL 곡선을 통째로 얻습니다. 재귀는 BEL[0]만이 아니라 BEL[1], BEL[2], … 모든 시점의 BEL을 함께 내놓습니다. BEL[t]는 그 시점에 아직 남아 있는 부채의 크기이고, 이 곡선은 뒤 장에서 부채가 시간에 따라 어떻게 풀려 나가는지를 볼 때 쓰입니다.

둘째, 한 번의 패스로 끝납니다. 현금흐름마다 0개월까지의 할인계수를 따로 구해 더하는 대신, 한 달치 할인을 되풀이해 곱하면 됩니다. 끝에서 0개월까지 딱 한 번 훑으면 계산이 끝나죠.

후방 재귀로 구한 BEL[0]은 5.2절의 직접 합산과 정확히 같은 값입니다. 재귀는 같은 덧셈을 끝에서부터 한 달치씩 묶어 정리한 것일 뿐이니까요. 다음 절에서 두 방법이 맞아떨어지는 것을 손으로 확인합니다.

5.4 손으로 따라가는 2개월 예제#

작은 계약 하나를 끝까지 손으로 계산해 봅니다.

예제 설정

보험기간 2개월의 정기보험 한 건 (count = 1)
월 사망률 1%, 해지 없음
사망보험금 12,000, 월 보험료 100
월 할인율 i = 0.5%
사업비는 0으로 두어 할인과 재귀에 집중합니다

1단계 — 현금흐름 (4장). 보유계약은 0개월 1.00에서 출발해, 사망률 1%로 줄어 1개월에는 0.99입니다. 이 0.99는 3.4절에서 본 대로 계약이 그때까지 유지되어 있을 확률, 곧 기대 보유 건수입니다. 그 위에 현금흐름이 얹힙니다.

시점	보유계약	보험료 (월초, 유입)	사망보험금 (월중, 유출)
0개월	1.00	100.00	1.00 × 1% × 12,000 = 120.00
1개월	0.99	99.00	0.99 × 1% × 12,000 = 118.80

2단계 — 할인계수. 월 할인율 0.5%로 할인계수를 구합니다.

시점	월초 (1.005)^-t	월중 (1.005)^-(t+0.5)
0개월	1.0000	0.9975
1개월	0.9950	0.9925

3단계 — 직접 합산 (5.2절). 각 현금흐름을 현재가치로 바꿔 더합니다.

유입(보험료)의 현재가치 = 100.00 × 1.0000 + 99.00 × 0.9950 = 100.00 + 98.51 = 198.51
유출(사망보험금)의 현재가치 = 120.00 × 0.9975 + 118.80 × 0.9925 = 119.70 + 117.91 = 237.61
BEL = 237.61 - 198.51 = 39.10

4단계 — 후방 재귀 (5.3절). 이번엔 끝에서부터 접어 옵니다. 반 달치 할인은 (1.005)^-0.5 = 0.9975, 한 달치 할인은 (1.005)^-1 = 0.9950입니다.

BEL[2] = 0 (만기보험금이 없음)
BEL[1] = -99.00 + 118.80 × 0.9975 + 0 × 0.9950 = -99.00 + 118.50 = 19.50
BEL[0] = -100.00 + 120.00 × 0.9975 + 19.50 × 0.9950 = -100.00 + 119.70 + 19.40 = 39.10

5단계 — 검증. 직접 합산도 39.10, 후방 재귀도 39.10. 두 방법이 맞아떨어집니다. 한 방법이 다른 방법의 검산이 되는 셈이죠.

BEL이 양수이므로 이 계약은 유출의 현재가치가 유입보다 큽니다. 재귀가 함께 내놓은 BEL[1] = 19.50은 1개월 시점에 아직 남아 있는 부채이고, BEL[2] = 0은 보험기간이 끝나 더 갚을 것이 없다는 뜻입니다.

5.5 다음 장#

BEL을 구했습니다. 측정 4단계 가운데 추정과 할인, 둘을 마친 것입니다. 하지만 BEL은 어디까지나 평균입니다(2.1절). 결과가 평균에서 빗나갈 위험은 아직 부채에 담기지 않았습니다.

6장에서는 3단계, **위험조정(RA)**을 다룹니다. 비금융위험을 숫자로 만들어 BEL 위에 더하는 과정 — 신뢰수준법과 위험군별 변동계수 — 을 봅니다.